Movimiento armónico simple

a) i) La energía mecánica de un oscilador armónico es toda potencial elástica en los extremos:$$E = \tfrac{1}{2}k A^2$$No aparece la masa por ningún lado. Como ambas partículas tienen la misma $k$ y la misma $A$:$$E_1 = E_2$$Las dos tienen exactamente la misma energía mecánica.

a) ii) La velocidad máxima es $v_{\text{máx}} = A\,\omega$, con$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$Para la partícula de masa $m$: $v_{\text{máx},1} = A\sqrt{k/m}$. Para la de masa $2m$: $v_{\text{máx},2} = A\sqrt{k/2m}$. Dividiendo:$$\frac{v_{\text{máx},1}}{v_{\text{máx},2}} = \sqrt{\frac{2m}{m}} = \sqrt{2} = 1{,}41$$La partícula más ligera oscila $\sqrt{2}$ veces más rápido. Es coherente con i): tienen la misma energía cinética máxima, así que la que tiene menos masa necesita más velocidad.

b) i) Frecuencia angular y periodo:$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = 2\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi = 3{,}14\ \text{s}$$b) ii) Se alarga el muelle $4\,\text{cm}$ y se suelta: en $t = 0$ la masa está en la elongación máxima con velocidad nula, luego $A = 0{,}04\ \text{m}$ y la fase inicial corresponde a un coseno:$$x(t) = A\cos(\omega t) = 0{,}04\,\cos(2\,t)\ \ (\text{SI})$$b) iii) Derivando una y dos veces:$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\,\text{sen}(\omega t) = -0{,}08\,\text{sen}(2t)$$$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^2\cos(\omega t) = -0{,}16\,\cos(2t)$$En $t = 3{,}5\,\text{s}$ el argumento vale $2t = 7\ \text{rad}$ (¡en radianes!), y $\text{sen}\,7 = 0{,}657$, $\cos 7 = 0{,}754$:$$v(3{,}5) = -0{,}08\cdot 0{,}657 = -5{,}26\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$a(3{,}5) = -0{,}16\cdot 0{,}754 = -0{,}121\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Ambas negativas: en ese instante la masa está en $x = 0{,}04\cos 7 = +0{,}030\,\text{m}$, todavía del lado positivo, y se mueve hacia el centro; como $v$ y $a$ tienen el mismo signo, su rapidez está aumentando (la fuerza recuperadora, siempre hacia la posición de equilibrio, la acelera hasta que pase por $x = 0$).