Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Una onda armónica viajera presenta doble periodicidad porque se repite tanto en el tiempo como en el espacio. Su ecuación,$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - k x)$$depende de dos variables independientes, y es periódica en cada una de ellas por separado:

Periodicidad temporal. Si fijamos una posición $x = x_0$, la elongación de esa partícula se repite cada periodo $T$:$$y(x_0,\,t + T) = y(x_0,\,t) \qquad T = \frac{2\pi}{\omega}$$Gráfica: una sinusoide de $y$ frente a $t$, que describe el movimiento armónico simple de ese punto concreto y se repite cada $T$ segundos.

Periodicidad espacial. Si fijamos un instante $t = t_0$, el perfil de la onda se repite cada longitud de onda $\lambda$:$$y(x + \lambda,\,t_0) = y(x,\,t_0) \qquad \lambda = \frac{2\pi}{k}$$Gráfica: una sinusoide de $y$ frente a $x$ —la "foto" del medio en ese instante— que se repite cada $\lambda$ metros.

Ambas periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación: $v = \lambda/T$. Es lo que distingue a una onda de un simple movimiento oscilatorio, que solo tiene periodicidad temporal.

b) i) Identificamos los parámetros de la ecuación:$$A = 20\ \text{m} \qquad \omega = 10\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = 50\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{10}{50}$$$$v = 0{,}2\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(De paso: $T = 2\pi/\omega = 0{,}628\,\text{s}$ y $\lambda = 2\pi/k = 0{,}126\,\text{m}$; en efecto, $v = \lambda/T = 0{,}2\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ ✓.)

El signo menos delante de $kx$ indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje $x$.

b) ii) La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto al tiempo, con $x$ fija:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -20\cdot 10\,\text{sen}(10\,t - 50\,x)$$$$v_y(x,t) = -200\,\text{sen}(10\,t - 50\,x)\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$:$$v_{\text{máx}} = \omega\,A = 10\cdot 20$$$$v_{\text{máx}} = 200\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) iii) La aceleración es la derivada de la velocidad de oscilación, es decir, la segunda derivada de $y$ respecto al tiempo:$$a_y(x,t) = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -200\cdot 10\,\cos(10\,t - 50\,x)$$$$a_y(x,t) = -2000\,\cos(10\,t - 50\,x)\ \ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Su valor máximo:$$a_{\text{máx}} = \omega^2\,A = 100\cdot 20$$$$a_{\text{máx}} = 2000\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Merece la pena observar la estructura del resultado: $a_y = -\omega^2\,y$, que es precisamente la ecuación característica de un movimiento armónico simple. Cada punto del medio realiza un MAS, y la aceleración es máxima justo donde la elongación lo es (en las crestas y los valles), mientras que la velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio.