Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Falsa. En una onda estacionaria, $y(x,t) = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$, el factor$$A(x) = 2A\,\text{sen}(k x)$$actúa como una amplitud que depende de la posición: ésa es justamente la característica que distingue una onda estacionaria de una viajera. Hay puntos que no se mueven nunca (nodos, amplitud nula) y puntos que oscilan con amplitud máxima $2A$ (vientres). En una onda viajera, en cambio, todos los puntos oscilan con la misma amplitud, y ahí sí sería cierta la afirmación.

a) ii) Falsa. Los nodos son los ceros de la amplitud espacial:$$\text{sen}(k\,x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad k\,x = n\pi \quad\Longrightarrow\quad x = n\,\frac{\lambda}{2}$$Dos nodos consecutivos ($n$ y $n+1$) están separados$$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$$es decir, media longitud de onda, no una completa. (Lo mismo vale para dos vientres consecutivos; entre un nodo y el vientre contiguo hay $\lambda/4$.)

b) La ecuación tiene la forma de producto de una función solo de $x$ por otra solo de $t$:$$y(x,t) = \underbrace{0{,}5\cos(0{,}8\,x)}_{\text{amplitud según la posición}}\cdot\ \text{sen}(20\,t)$$Es, por tanto, una onda estacionaria: el perfil no viaja, cada punto oscila con una amplitud fija que depende de su posición.

Comparando con $y = 2A\cos(kx)\,\text{sen}(\omega t)$:$$2A = 0{,}5\ \text{m} \qquad k = 0{,}8\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 20\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Amplitud. La amplitud máxima de la onda estacionaria (la de los vientres) es$$A_{\text{máx}} = 2A = 0{,}5\ \text{m}$$y las dos ondas armónicas que se superponen para formarla tienen cada una $A = 0{,}25\,\text{m}$.

Frecuencia:$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = 3{,}18\ \text{Hz}$$Longitud de onda:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0{,}8} = 7{,}85\ \text{m}$$Velocidad de oscilación máxima en $x = 0{,}2\,\text{m}$. Derivamos respecto al tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}5\cdot 20\,\cos(0{,}8\,x)\cos(20\,t) = 10\cos(0{,}8\,x)\cos(20\,t)$$Su valor máximo en ese punto se alcanza cuando $\cos(20t) = 1$:$$v_{\text{máx}}(0{,}2) = 10\cos(0{,}8\cdot 0{,}2) = 10\cos(0{,}16\ \text{rad}) = 10\cdot 0{,}987$$$$v_{\text{máx}} = 9{,}87\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(El punto está muy cerca de un vientre —donde valdría exactamente $10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$—, por eso el resultado se le aproxima tanto.)