FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

a) Escriba la ecuación de una onda armónica transversal que se propaga a lo largo del sentido positivo del eje X e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella.

b) En el centro de la superficie de una piscina circular de

10\,\text{m}

de radio se genera una onda armónica transversal de

4\,\text{cm}

de amplitud y una frecuencia de

5\,\text{Hz}

que tarda

5\,\text{s}

en llegar al borde de la piscina. Escriba la ecuación de la onda y calcule la elongación de un punto situado a

6\,\text{m}

del foco emisor al cabo de

12\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}04\,\text{sen}(10\pi t - 5\pi x)\ \text{m}\quad;\quad y(6;\,12) = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una onda hacia

+x

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)

, con

A

amplitud,

\omega

pulsación,

k

número de onda. La velocidad es

v = \text{recorrido}/\text{tiempo} = 10/5 = 2\,\text{m/s}

; de ahí

\lambda = v/f

k = 2\pi/\lambda

. Sustituimos el punto y el instante.

Desarrollo

a) Onda armónica transversal que avanza en el sentido positivo del eje X:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

$y(x,t)$ : elongación, desplazamiento transversal (perpendicular al eje X) respecto de su posición de equilibrio del punto del medio situado en $x$ , en el instante $t$ (m).
$x$ : posición del punto a lo largo de la dirección de propagación (m); $t$ : tiempo (s).
$A$ : amplitud, elongación máxima (m).
$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ : frecuencia angular (rad/s), con $f$ la frecuencia (Hz) y $T$ el periodo (s), tiempo de una oscilación completa.
$k = 2\pi/\lambda$ : número de onda (rad/m), con $\lambda$ la longitud de onda, distancia entre dos puntos consecutivos en fase.
$\omega t - kx + \varphi_0$ : fase (rad), y $\varphi_0$ la fase inicial, que fija el estado de vibración del origen en $t=0$ .

El signo

-

entre

\omega t

kx

indica propagación hacia

+x

, con velocidad

v = \omega/k = \lambda f

.

b) Tomamos

x

como la distancia al foco (la onda avanza hacia fuera) y, como el enunciado no da la elongación inicial, fase inicial nula (

y=0

en el foco en

t=0

v = 10/5 = 2\,\text{m/s}

;

\omega = 2\pi\cdot5 = 10\pi\,\text{rad/s}

;

\lambda = v/f = 0{,}4\,\text{m}

;

k = 2\pi/0{,}4 = 5\pi\,\text{rad/m}

y(x,t) = 0{,}04\,\text{sen}(10\pi t - 5\pi x)\ \text{m}

Elongación en

x=6\,\text{m}

t=12\,\text{s}

(la onda ya ha llegado, pues tarda

6/2=3\,\text{s}

y = 0{,}04\,\text{sen}(10\pi\cdot12 - 5\pi\cdot6) = 0{,}04\,\text{sen}(90\pi) = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La velocidad de la onda sale del dato "tarda $5\,\text{s}$ en recorrer $10\,\text{m}$ ". Como $90\pi$ es múltiplo entero de $\pi$ , el seno se anula: en ese instante el punto pasa por su posición de equilibrio.

Paso 1 de 3

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