Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Onda estacionaria: es la que resulta de la superposición de dos ondas armónicas de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección y sentidos opuestos (por ejemplo, una onda y su reflejada en el extremo fijo de una cuerda):$$y = A\,\text{sen}(kx - \omega t) + A\,\text{sen}(kx + \omega t) = 2A\,\text{sen}(kx)\,\cos(\omega t)$$No es una onda viajera: el perfil no se desplaza ni transporta energía de un punto a otro. Cada punto realiza un MAS de frecuencia $\omega$ con una amplitud que depende de su posición, $A_r(x) = 2A\,|\text{sen}(kx)|$.

Nodo: punto que permanece siempre en reposo (amplitud nula): $\text{sen}(kx) = 0 \Rightarrow x = n\dfrac{\lambda}{2}$ ($n = 0, 1, 2,\dots$). Dos nodos consecutivos distan $\lambda/2$.

Vientre: punto que oscila con amplitud máxima, $2A$: $|\text{sen}(kx)| = 1 \Rightarrow x = (2n+1)\dfrac{\lambda}{4}$. Entre dos nodos hay un vientre, a $\lambda/4$ de cada uno.

Esquema: se dibuja la cuerda en varios instantes: una sucesión de "husos" (arcos de sinusoide, uno hacia arriba y otro hacia abajo, superpuestos) que se estrechan hasta cero en los nodos (N), separados $\lambda/2$, y alcanzan su anchura máxima ($\pm 2A$) en los vientres (V), situados en medio.

b) Comparando con $2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$: $k = \pi/3\,\text{rad/m}\Rightarrow \lambda = 2\pi/k = 6\,\text{m}$; $\omega = 40\pi\,\text{rad/s}$. La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto al tiempo (con $x$ fijo):$$v_{\text{vib}} = \frac{\partial y}{\partial t} = -200\pi\,\text{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{3}x\right)\text{sen}(40\pi t)$$En $x=1{,}5$, $t=1{,}25$: $\text{sen}(\tfrac{\pi}{3}\cdot1{,}5) = \text{sen}(\tfrac{\pi}{2}) = 1$; $\text{sen}(40\pi\cdot1{,}25) = \text{sen}(50\pi) = 0$:$$v_{\text{vib}} = -200\pi\cdot1\cdot0 = 0$$El punto $x = 1{,}5\,\text{m} = \lambda/4$ es un vientre, y en ese instante ($\cos(50\pi) = 1$) está en su elongación máxima, $y = 5\,\text{m}$: por eso su velocidad es nula.

Distancia entre nodos: los nodos cumplen $\text{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{3}x\right) = 0 \Rightarrow \tfrac{\pi}{3}x = n\pi \Rightarrow x = 3n\,\text{m}$ ($x = 0, 3, 6,\dots$), así que dos nodos consecutivos distan $\dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\,\text{m}$.