FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

También trata: Óptica geométrica: lentes y espejos
Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción B
Enunciado
a) Describa, con la ayuda de construcciones gráficas, las diferencias entre las imágenes formadas por una lente convergente y otra divergente de un objeto real localizado a una distancia entre ff y 2f2f de la lente, siendo ff la distancia focal.

b) La tecnología ultravioleta para la desinfección de agua, aire y superficies está basada en el efecto germicida de la radiación UV-C. El espectro del UV-C en el aire está comprendido entre 200 nm200\,\text{nm} y 280 nm280\,\text{nm}. Calcule las frecuencias entre las que está comprendida dicha zona del espectro electromagnético y determine entre qué longitudes de onda estará comprendido el UV-C en el agua.

Datos: c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}; naire=1n_{\text{aire}} = 1; nagua=1,33n_{\text{agua}} = 1{,}33.
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Resultado
  1,07⋅1015 Hz≤f≤1,5⋅1015 Hz  \boxed{\;1{,}07\cdot 10^{15}\,\text{Hz} \le f \le 1{,}5\cdot 10^{15}\,\text{Hz}\;}  150 nm≤λagua≤211 nm  \boxed{\;150\,\text{nm} \le \lambda_{\text{agua}} \le 211\,\text{nm}\;}
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Estrategia

En a) todo se resuelve con la posición del objeto respecto al foco. Con la lente convergente y el objeto entre ff y 2f2f la imagen es real, invertida y mayor; con la divergente, sea donde sea el objeto real, la imagen es siempre virtual, derecha y menor. Los tres rayos característicos son los mismos en ambos casos.

En b) hay que tener claro qué cambia y qué no al pasar la luz de un medio a otro: la frecuencia no cambia nunca (la fija el foco emisor), y lo que cambia es la velocidad y, con ella, la longitud de onda.
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Desarrollo

a) Con los tres rayos característicos (el paralelo al eje, que sale por el foco imagen; el que pasa por el foco objeto, que sale paralelo; y el que atraviesa el centro óptico sin desviarse):
  • Lente convergente, objeto entre ff y 2f2f (a la izquierda de la lente, con el foco objeto FF a la izquierda y el foco imagen F′F' a la derecha): se dibuja desde el extremo superior del objeto un rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por F′F', y otro por el centro óptico, que sigue recto. Los dos rayos refractados se cortan realmente al otro lado de la lente, más allá de 2f′2f' y por debajo del eje. La imagen es real, invertida y de mayor tamaño que el objeto. Se puede recoger en una pantalla.
  • Lente divergente (ahora F′F' está a la izquierda, del lado del objeto): el rayo paralelo al eje sale de la lente separándose del eje como si viniera de F′F' (se prolonga hacia atrás con trazo discontinuo), y el rayo por el centro óptico sigue recto. Los rayos refractados divergen y solo se cortan sus prolongaciones, en el mismo lado que el objeto, entre la lente y el foco. La imagen es virtual, derecha y de menor tamaño, sea cual sea la posición del objeto real.
Se comprueba con la ecuación de las lentes, 1s′−1s=1f′\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'} y A=s′sA = \dfrac{s'}{s}, para un objeto en s=−1,5 fs = -1{,}5\,f:
  • Convergente (f′=+ff' = +f): 1s′=1f−11,5 f=13f\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{1{,}5\,f} = \dfrac{1}{3f}, así que s′=+3fs' = +3f (real) y A=3f−1,5 f=−2A = \dfrac{3f}{-1{,}5\,f} = -2 (invertida y doble).
  • Divergente (f′=−ff' = -f): 1s′=−1f−11,5 f=−53f\dfrac{1}{s'} = -\dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{1{,}5\,f} = -\dfrac{5}{3f}, así que s′=−0,6 fs' = -0{,}6\,f (virtual) y A=−0,6 f−1,5 f=+0,4A = \dfrac{-0{,}6\,f}{-1{,}5\,f} = +0{,}4 (derecha y menor).
En resumen: la convergente da una imagen real (se forma con los propios rayos) al otro lado de la lente; la divergente, una imagen virtual (solo la forman las prolongaciones) en el lado del objeto.

b) Como la frecuencia no cambia al cambiar de medio, la calculamos en el aire:f=cλf = \frac{c}{\lambda}f1=3⋅108200⋅10−9=1,5⋅1015 Hzf2=3⋅108280⋅10−9=1,07⋅1015 Hzf_1 = \frac{3\cdot 10^{8}}{200\cdot 10^{-9}} = 1{,}5\cdot 10^{15}\,\text{Hz} \qquad f_2 = \frac{3\cdot 10^{8}}{280\cdot 10^{-9}} = 1{,}07\cdot 10^{15}\,\text{Hz}El UV-C está, por tanto, entre 1,07⋅10151{,}07\cdot 10^{15} y 1,5⋅1015 Hz1{,}5\cdot 10^{15}\,\text{Hz}.

En el agua la velocidad se reduce a v=c/nv = c/n, y como ff es la misma:λagua=vf=cnf=λairen\lambda_{\text{agua}} = \frac{v}{f} = \frac{c}{n f} = \frac{\lambda_{\text{aire}}}{n}λ1′=2001,33=150 nmλ2′=2801,33=211 nm\lambda_1' = \frac{200}{1{,}33} = 150\,\text{nm} \qquad \lambda_2' = \frac{280}{1{,}33} = 211\,\text{nm}
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro: es el error más repetido de todo el bloque de óptica. Lo que cambia es vv y, en la misma proporción, λ\lambda.

Fíjate en que el intervalo de frecuencias sale "al revés" que el de longitudes de onda (λ\lambda mayor ⇒\Rightarrow ff menor). Y trabaja siempre en metros: 200 nm=2⋅10−7 m200\,\text{nm} = 2\cdot 10^{-7}\,\text{m}.
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