Óptica geométrica: lentes y espejos

a) Con el objeto situado entre $f'$ y $2f'$, el trazado de rayos característico es:

• El rayo que sale del extremo del objeto paralelo al eje se refracta pasando por el foco imagen $F'$.
• El rayo que pasa por el centro óptico no se desvía.
• El rayo que pasa por el foco objeto $F$ emerge paralelo al eje.

Como el objeto está más allá del foco, los rayos emergentes convergen realmente al otro lado de la lente y se cortan por debajo del eje, en un punto situado más allá de $2f'$.

Características de la imagen:

• Real, porque los rayos se cortan de verdad y puede recogerse en una pantalla ($s' > 0$).
• Invertida, porque el corte se produce por debajo del eje ($\beta < 0$).
• De mayor tamaño que el objeto ($|\beta| > 1$), ya que $|s'| > |s|$.

Se justifica también con la ecuación de la lente, $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s}$. Con $-2f' < s < -f'$, se tiene $-\dfrac{1}{f'} < \dfrac{1}{s} < -\dfrac{1}{2f'}$, luego$$0 < \frac{1}{s'} < \frac{1}{2f'} \quad\Longrightarrow\quad s' > 2f' > |s|$$y el aumento $\beta = s'/s$ es negativo y de valor absoluto mayor que 1.

Es la configuración de un proyector: un objeto pequeño situado algo más allá del foco produce una imagen grande e invertida sobre la pantalla.

b) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz se propaga de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. La lente es convergente, luego $f' = +20\,\text{cm}$.

La imagen está $40\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente, es decir, del mismo lado que el objeto:$$s' = -40\ \text{cm}$$(negativa: la imagen es virtual).

Ecuación de la lente delgada:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{f'} = \frac{1}{-40} - \frac{1}{20}$$$$\frac{1}{s} = -0{,}025 - 0{,}05 = -0{,}075\ \text{cm}^{-1}$$$$s = -13{,}3\ \text{cm}$$El objeto está a $13{,}3\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente, es decir, dentro de la distancia focal ($13{,}3 < 20$), como corresponde al modo lupa.

Aumento lateral:$$\beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{-40}{-13{,}3} = +3$$Como la imagen mide $y' = 30\,\text{cm}$:$$y = \frac{y'}{\beta} = \frac{30}{3} = 10\ \text{cm}$$Trazado de rayos y naturaleza de la imagen. El rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F'$; el rayo que pasa por el centro óptico sigue recto. Al estar el objeto dentro de la focal, ambos rayos emergentes divergen y hay que prolongarlos hacia atrás: se cortan a $40\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente, por encima del eje.

La imagen es, por tanto, virtual (no puede proyectarse), derecha ($\beta > 0$) y de mayor tamaño ($3$ veces el objeto): el funcionamiento de una lupa.