Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) La frecuencia no cambia. La determina el foco emisor y se mantiene al pasar de un medio a otro: cada partícula del segundo medio es obligada a oscilar al mismo ritmo que la última partícula del primero, porque están en contacto.$$f_2 = f_1$$La longitud de onda sí cambia. De $v = \lambda\,f$, con $f$ constante, $\lambda$ es proporcional a $v$:$$\lambda_2 = \frac{v_2}{f} < \frac{v_1}{f} = \lambda_1$$Al ser $v_2 < v_1$, la longitud de onda disminuye: las crestas se "aprietan" al entrar en el medio más lento.

a) ii) La amplitud no se ve afectada. El enunciado precisa que la onda pasa completamente al segundo medio, sin reflexión ni absorción, así que toda la energía se transmite y la amplitud se mantiene:$$A_2 = A_1$$(En una situación real sí cambiaría: parte de la energía se reflejaría en la superficie de separación.)

La velocidad máxima de vibración tampoco cambia. No hay que confundirla con la velocidad de propagación: es la velocidad con la que oscila cada partícula del medio en torno a su posición de equilibrio, y vale$$v_{\text{osc, máx}} = \omega\,A = 2\pi\,f\,A$$Como ni $f$ ni $A$ cambian, $v_{\text{osc, máx}}$ tampoco. Lo que ha disminuido es la velocidad de propagación de la perturbación, que es una magnitud completamente distinta.

b) i) Calculamos los parámetros de la onda:$$\omega = 2\pi\,f = 2\pi\cdot 2 = 4\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25\ \text{m} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$(También $k = \omega/v = 4\pi/0{,}5 = 8\pi$ ✓.)

La onda avanza en el sentido positivo del eje $x$, así que en la fase aparece $-kx$. Y la condición inicial —el punto $x = 0$ está en el máximo de su oscilación en $t = 0$— exige que la elongación valga $+A$ ahí, lo que corresponde a un coseno:$$y(0,0) = A\cos(0) = A \ \checkmark$$$$y(x,t) = 0{,}05\,\cos(4\pi\,t - 8\pi\,x)\ \ \text{(S.I.)}$$(Equivalentemente, $y = 0{,}05\,\text{sen}(4\pi t - 8\pi x + \pi/2)$.)

b) ii) La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto al tiempo, con $x$ fija:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}05\cdot 4\pi\,\text{sen}(4\pi t - 8\pi x)$$$$v_y(x,t) = -0{,}2\pi\,\text{sen}(4\pi t - 8\pi x)\ \ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$:$$v_{\text{máx}} = \omega\,A = 0{,}2\pi$$$$v_{\text{máx}} = 0{,}628\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es mayor que la velocidad de propagación ($0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$), lo cual no tiene nada de contradictorio: son magnitudes distintas. La primera describe cómo se agitan las partículas (transversalmente) y la segunda a qué ritmo avanza la perturbación (longitudinalmente).