Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Se reduce la frecuencia a la mitad ($f' = f/2$), manteniendo $A$ y $v$.

• Longitud de onda: como $\lambda = v/f$ y la velocidad de propagación depende solo del medio (la tensión y la densidad de la cuerda), no de la frecuencia:

$$\lambda' = \frac{v}{f/2} = 2\,\frac{v}{f} = 2\,\lambda$$La longitud de onda se duplica.

• Velocidad máxima de oscilación: $v_{\text{osc,máx}} = \omega A = 2\pi f A$, luego

$$v'_{\text{osc,máx}} = 2\pi\,\frac{f}{2}\,A = \frac{v_{\text{osc,máx}}}{2}$$Se reduce a la mitad.

a) ii) Se duplica la amplitud ($A' = 2A$), manteniendo $f$ y $v$.

• Longitud de onda: $\lambda = v/f$ no depende de la amplitud en absoluto, así que no cambia:

$$\lambda' = \lambda$$

• Velocidad máxima de oscilación: es proporcional a $A$:

$$v'_{\text{osc,máx}} = 2\pi f\,(2A) = 2\,v_{\text{osc,máx}}$$Se duplica.

En resumen: la frecuencia afecta a las dos magnitudes y la amplitud solo a la velocidad de oscilación.

b) i) Con los datos del enunciado:$$A = 0{,}05\ \text{m} \qquad k = 10\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad v = 2\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$\omega = k\,v = 10\pi\cdot 2 = 20\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$(De paso: $\lambda = 2\pi/k = 0{,}2\,\text{m}$ y $f = \omega/2\pi = 10\,\text{Hz}$.)

La onda avanza en el sentido positivo del eje $x$, así que la fase lleva $-kx$. Y como en $t = 0$ el punto $x = 0$ está en su posición más alta, la elongación debe valer $+A$ ahí, lo que corresponde a un coseno:$$y(x,t) = 0{,}05\,\cos(20\pi\,t - 10\pi\,x)\ \ \text{(S.I.)}$$Comprobación: $y(0,0) = 0{,}05\cos(0) = 0{,}05 = A$ ✓.

b) ii) La diferencia de fase entre dos puntos separados $\Delta x$ es$$\Delta\varphi = k\,\Delta x$$Con $\Delta x = 0{,}9 - 0{,}6 = 0{,}3\,\text{m}$:$$\Delta\varphi = 10\pi\cdot 0{,}3 = 3\pi\ \text{rad}$$Descomponiendo, $3\pi = \pi + 2\pi$, y como $2\pi$ es una vuelta completa, el desfase efectivo es de $\pi$ radianes: los puntos están en oposición de fase.

Se ve igual de claro con la longitud de onda: $\Delta x = 0{,}3\,\text{m}$ y $\lambda = 0{,}2\,\text{m}$, luego$$\frac{\Delta x}{\lambda} = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5 = \frac{3}{2}$$Están separados una longitud de onda y media, es decir, un número impar de semilongitudes de onda: oposición de fase. Cuando uno de los dos puntos esté en una cresta, el otro estará en un valle.