FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2024 · Julio · Opción B

Enunciado

a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales, proporcionando un ejemplo representativo de cada tipo.

b) Considere un oleaje que se propaga en el sentido positivo del eje

OX

. Una boya, situada en

x = 10\,\text{m}

, describe una oscilación armónica vertical con una amplitud de

0{,}4\,\text{m}

y un periodo de

2

segundos. La velocidad de propagación de las olas en la superficie del mar es de

0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de las olas; ii) la ecuación de onda, asumiendo que, en el instante inicial

t = 0\,\text{s}

, la altura de la boya es máxima; iii) la velocidad máxima de oscilación de la boya.

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Resultado

\boxed{\;\lambda = 1\ \text{m}\;}

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}4\,\cos(\pi t - 2\pi x)\ \ (\text{SI})\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}} = 0{,}4\pi = 1{,}26\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La única dificultad de b) está en la fase inicial: la condición "altura máxima en

t=0

" no se impone en el origen de coordenadas, sino en la posición de la boya,

x = 10\,\text{m}

. Hay que sustituir ahí y despejar

\varphi_0

.

Afortunadamente los números salen redondos: con

\lambda = 1\,\text{m}

, la boya está a

10

longitudes de onda exactas del origen, así que el desfase acumulado es un múltiplo entero de

2\pi

y la fase se simplifica.

Desarrollo

a) La diferencia está en la dirección de vibración respecto a la de propagación:

Ondas longitudinales: las partículas del medio oscilan en la misma dirección en que avanza la onda. Se propagan como sucesiones de compresiones y dilataciones. Ejemplo representativo: el sonido en el aire.
Ondas transversales: las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación, formando crestas y valles. Ejemplo representativo: la onda que recorre una cuerda tensa al sacudirla (o las ondas electromagnéticas, que además no necesitan medio).

Una consecuencia importante: las ondas transversales pueden polarizarse (hay más de una dirección de vibración perpendicular a la propagación) y las longitudinales no. Además, las transversales mecánicas no se propagan por el interior de los fluidos, que no resisten esfuerzos cortantes.

b) i) Con

T = 2\,\text{s}

v = 0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

\lambda = v\,T = 0{,}5\cdot 2 = 1\ \text{m}

b) ii) Las constantes de la onda son

\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad A = 0{,}4\ \text{m}

Como se propaga en el sentido positivo del eje

OX

, los signos de

\omega t

kx

son opuestos:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - k x + \varphi_0)

Imponemos que en

t = 0

la boya, situada en

x = 10\,\text{m}

, esté en su altura máxima, es decir,

y(10,0) = A

0{,}4\,\text{sen}(-2\pi\cdot 10 + \varphi_0) = 0{,}4 \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}(\varphi_0 - 20\pi) = 1

Como

20\pi

son diez vueltas completas, la condición se reduce a

\text{sen}\,\varphi_0 = 1

, es decir,

\varphi_0 = \pi/2

y(x,t) = 0{,}4\,\text{sen}\!\left(\pi t - 2\pi x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad\text{o, equivalentemente,}\qquad y(x,t) = 0{,}4\,\cos(\pi t - 2\pi x)\ \ (\text{SI})

Comprobación:

y(10,0) = 0{,}4\cos(-20\pi) = 0{,}4\ \text{m}

, que es la amplitud. ✓

b) iii) La velocidad de oscilación es la derivada temporal:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}4\,\pi\,\text{sen}(\pi t - 2\pi x)

v_{\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}4\cdot\pi = 1{,}26\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La condición inicial se impone en $x = 10\,\text{m}$ , no en el origen. Aquí da igual porque la boya está a un número entero de longitudes de onda, pero si $\lambda$ no hubiese sido $1\,\text{m}$ el resultado cambiaría. Escribe la sustitución completa para dejarlo claro.

Y no confundas la velocidad de las olas ( $0{,}5\,\text{m/s}$ , con la que avanza la cresta) con la de la boya ( $1{,}26\,\text{m/s}$ , con la que sube y baja). La boya no viaja con la ola.

Paso 1 de 3

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