Óptica geométrica: lentes y espejos

a) El índice de refracción es $n = c/v$: a menor velocidad, mayor índice.

i) Falsa. Nos dicen que $v_1 < v_2$, luego$$n_1 = \frac{c}{v_1} > \frac{c}{v_2} = n_2 \quad\Longrightarrow\quad n_1 > n_2$$Es justo lo contrario de lo que afirma el enunciado.

ii) Verdadera. La reflexión total exige pasar de un medio más refringente a otro menos refringente, que es exactamente el caso ($n_1 > n_2$), y superar el ángulo límite$$\text{sen}\,L = \frac{n_2}{n_1} < 1$$Como el cociente es menor que uno, el ángulo límite existe y, para incidencias mayores que $L$, se produce reflexión total.

b1) i) Criterio de signos (DIN): origen en el centro óptico; la luz va de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. El objeto real está a la izquierda, $s<0$.

Una lente divergente con objeto real da siempre imagen virtual y derecha, situada al mismo lado que el objeto: $s' = -20\ \text{cm}$. El aumento es positivo y vale $1/3$:$$\beta = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad s = 3\,s' = 3\cdot(-20) = -60\ \text{cm}$$El objeto está a $60\,\text{cm}$ delante de la lente.

ii) Ecuación de la lente delgada:$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}$$$$\frac{1}{f'} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-60} = -0{,}05 + 0{,}0167 = -0{,}0333\ \text{cm}^{-1}$$$$f' = -30\ \text{cm}$$Negativa, como corresponde a una lente divergente.

iii) Trazado de rayos. Se dibuja el eje óptico, la lente divergente (línea vertical con puntas de flecha invertidas), el foco imagen $F'$ a $30\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente y el foco objeto $F$ a $30\,\text{cm}$ a la derecha. El objeto es una flecha vertical apoyada en el eje a $60\,\text{cm}$ a la izquierda. Desde su extremo se trazan:

• Un rayo paralelo al eje: al atravesar la lente se desvía alejándose del eje, como si viniera de $F'$. Su prolongación hacia atrás (a trazos) pasa por $F'$.
• Un rayo que pasa por el centro óptico: no se desvía.

Los rayos emergentes divergen y no se cortan; se cortan sus prolongaciones, a $20\,\text{cm}$ a la izquierda de la lente (entre $F'$ y la lente). Ahí está el extremo de la imagen: virtual (formada por prolongaciones), derecha y menor (un tercio del objeto), en acuerdo con los resultados numéricos.

b2) Datos: $m = 2\,\text{kg}$, $A = 5\,\text{cm} = 0{,}05\,\text{m}$, $T = 2\,\text{s}$.

i) Frecuencia angular y constante elástica:$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad\Longrightarrow\quad k = m\,\omega^2 = 2\pi^2 = 19{,}7\ \text{N}\,\text{m}^{-1}$$ii) Se suelta desde el alargamiento máximo en $t=0$, es decir, parte de la elongación máxima con velocidad nula. Eso corresponde a un coseno sin fase adicional:$$x(t) = A\cos(\omega t) = 0{,}05\,\cos(\pi t)\ \ \text{(SI)}$$iii) Aceleración máxima:$$a_{\text{máx}} = \omega^2 A = \pi^2\cdot 0{,}05 = 0{,}493\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$(se alcanza en los extremos, donde la fuerza recuperadora es máxima).