Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Para que la superposición de dos ondas armónicas dé lugar a una onda estacionaria, ambas deben tener:

• la misma amplitud $A$;
• la misma frecuencia (y por tanto la misma $\omega$);
• la misma longitud de onda (el mismo $k$);
• y propagarse en sentidos opuestos a lo largo de la misma dirección.

En la práctica se consiguen con una onda y su reflejada en un extremo de la cuerda. Sumando$$y_1 = A\,\text{sen}(k x - \omega t) \qquad y_2 = A\,\text{sen}(k x + \omega t)$$y aplicando $\text{sen}\,a + \text{sen}\,b = 2\,\text{sen}\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$, se obtiene$$y(x,t) = 2A\,\text{sen}(k x)\cos(\omega t)$$(con otro origen de fases, por ejemplo $A\,\text{sen}(\omega t \mp kx)$, sale $2A\cos(kx)\,\text{sen}(\omega t)$: seno y coseno intercambiados).

Dependencia de la amplitud con la posición. Lo característico es que las variables aparecen separadas: el factor$$A(x) = 2A\,\text{sen}(k x)$$actúa como una amplitud que depende de la posición. Cada punto oscila con la misma frecuencia, pero con una amplitud propia fijada por su $x$:

• En los nodos, donde $\text{sen}(kx) = 0$, la amplitud es nula y el punto no se mueve nunca.
• En los vientres, donde $|\text{sen}(kx)| = 1$, la amplitud es máxima e igual a $2A$.

Por eso el perfil no viaja: la onda estacionaria no transporta energía neta.

b) De la ecuación se leen las constantes:$$2A = 0{,}02\ \text{m} \qquad k = 0{,}25\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 10\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$b) i) Los vientres son los puntos de amplitud máxima:$$|\text{sen}(0{,}25\pi\,x)| = 1 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}25\pi\,x = \frac{\pi}{2} + n\pi \qquad (n = 0,1,2,\dots)$$Dividiendo entre $0{,}25\pi$:$$x = 2 + 4n\ \ \text{m}$$Es decir, los vientres están en$$x = 2,\ 6,\ 10,\ 14\ \dots\ \text{m}$$separados entre sí $4\,\text{m}$, que es media longitud de onda.

b) ii) Amplitud de las ondas componentes. La ecuación tiene la forma $2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$, luego$$2A = 0{,}02 \quad\Longrightarrow\quad A = 0{,}01\ \text{m}$$Frecuencia:$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5\ \text{Hz}$$Longitud de onda:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0{,}25\pi} = 8\ \text{m}$$(coherente con la separación de $4\,\text{m} = \lambda/2$ entre vientres consecutivos).

Velocidad de propagación de las ondas que se superponen:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{10\pi}{0{,}25\pi} = 40\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(equivalentemente, $v = \lambda f = 8\cdot 5 = 40\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$).