Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

a) i) La frecuencia es la misma en ambos medios, luego de $v = \lambda f$:$$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = 2 v_1$$Y como $n = c/v$, el índice es inversamente proporcional a la velocidad:$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_2}{v_1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad n_1 = 2\,n_2$$El primer medio es el doble de refringente que el segundo.

a) ii) Por la ley de Snell, $n_1\,\text{sen}\,\hat{\imath} = n_2\,\text{sen}\,\hat{r}$, con $n_1 > n_2$:$$\text{sen}\,\hat{r} = \frac{n_1}{n_2}\,\text{sen}\,\hat{\imath} = 2\,\text{sen}\,\hat{\imath} > \text{sen}\,\hat{\imath}$$luego $\hat{r} > \hat{\imath}$: el rayo se aleja de la normal, como corresponde al pasar a un medio menos refringente.

Sí puede darse la reflexión total, precisamente porque se pasa de mayor a menor índice. El ángulo límite se obtiene con $\hat{r} = 90^\circ$:$$\text{sen}\,L = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad L = 30^\circ$$Para incidencias mayores de $30^\circ$ no hay rayo refractado.

b) i) Usando de nuevo que la frecuencia no cambia:$$n = \frac{\lambda_0}{\lambda_{\text{lámina}}} = \frac{\lambda_0}{\tfrac{3}{4}\lambda_0} = \frac{4}{3} = 1{,}33$$b) ii) Ley de Snell en la cara superior:$$1\cdot\text{sen}\,80^\circ = 1{,}33\,\text{sen}\,\hat{r} \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\hat{r} = \frac{0{,}985}{1{,}333} = 0{,}739$$$$\hat{r} = 47{,}6^\circ$$En el esquema, el rayo entra acercándose a la normal (pasa a un medio más refringente), atraviesa la lámina en línea recta y, al salir por la cara inferior —paralela a la primera—, se aleja de la normal recuperando exactamente los $80^\circ$ iniciales: el rayo emergente es paralelo al incidente, solo desplazado lateralmente.

b) iii) Velocidad de la luz dentro de la lámina:$$v = \frac{c}{n} = \frac{3\cdot 10^{8}}{4/3} = 2{,}25\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Camino realmente recorrido dentro de la lámina en ese tiempo:$$d = v\,t = 2{,}25\cdot 10^{8}\cdot 5{,}28\cdot 10^{-10} = 0{,}1188\ \text{m}$$Ese camino es oblicuo. Su relación con el espesor $e$ es $d = e/\cos\hat{r}$, luego$$e = d\cos\hat{r} = 0{,}1188\cdot\cos 47{,}6^\circ = 0{,}1188\cdot 0{,}674$$$$e = 0{,}080\ \text{m} = 8{,}0\ \text{cm}$$