FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

a) Explique la doble periodicidad de una onda. Indique las magnitudes que la describen y realice esquemas.

b) Una onda es

y(x,t) = 0{,}4\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\cos(2\pi t)

(SI). Indique de qué tipo de onda se trata y calcule su longitud de onda, su frecuencia, y la velocidad y aceleración de oscilación de un punto en

x = 2\,\text{m}

para

t = 0{,}25\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;\text{estacionaria};\ \lambda=4\,\text{m};\ f=1\,\text{Hz};\ v_{\text{osc}}=2{,}51\,\text{m/s};\ a_{\text{osc}}=0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una onda es doblemente periódica: en el espacio (periodo espacial = longitud de onda

\lambda

) y en el tiempo (periodo temporal

T

), relacionados por

v = \lambda/T

. La ecuación dada es un producto de una función solo de

x

por otra solo de

t

: es una onda estacionaria. Identificamos

k=\pi/2

\omega=2\pi

y derivamos respecto al tiempo para

v_{\text{osc}}

a_{\text{osc}}

Desarrollo

a) Una onda armónica que se propaga,

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)

, depende de dos variables,

x

t

, y es periódica respecto de ambas:

Periodicidad temporal: fijado un punto $x_0$ , su elongación $y(t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx_0)$ es un MAS que se repite cada periodo $T$ : $y(x_0, t+T) = y(x_0,t)$ . Magnitudes: periodo $T$ (s), frecuencia $f = 1/T$ (Hz) y frecuencia angular $\omega = 2\pi/T$ (rad/s). Esquema: gráfica $y$ – $t$ de un punto, una sinusoide en la que se señala $T$ entre dos máximos consecutivos.
Periodicidad espacial: fijado un instante $t_0$ , la forma de la onda $y(x) = A\,\text{sen}(\omega t_0 - kx)$ (una «foto» de la cuerda) se repite cada longitud de onda $\lambda$ : $y(x+\lambda, t_0) = y(x,t_0)$ . Magnitudes: longitud de onda $\lambda$ (m), distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de vibración, y número de onda $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m). Esquema: gráfica $y$ – $x$ en un instante, una sinusoide en la que se señala $\lambda$ entre dos crestas consecutivas.

Ambas periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación: en un periodo la onda avanza una longitud de onda,

v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}

b) Es una onda estacionaria: la ecuación es el producto de un factor que solo depende de

x

(la amplitud de cada punto,

0{,}4\cos(\tfrac{\pi}{2}x)

) por otro que solo depende de

t

; no hay término

(\omega t\pm kx)

, así que la perturbación no se propaga. Resulta de superponer dos ondas de amplitud

0{,}2\,\text{m}

que viajan en sentidos opuestos. Con

k=\pi/2\,\text{rad/m}

\omega=2\pi\,\text{rad/s}

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4\ \text{m}\qquad f = \frac{\omega}{2\pi} = 1\ \text{Hz}

Velocidad y aceleración de oscilación:

v_{\text{osc}} = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}8\pi\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\text{sen}(2\pi t)

a_{\text{osc}} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -1{,}6\pi^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\cos(2\pi t)

x=2\,\text{m}

t=0{,}25\,\text{s}

\cos(\pi)=-1

\text{sen}(\pi/2)=1

\cos(\pi/2)=0

v_{\text{osc}} = -0{,}8\pi\cdot(-1)\cdot1 = 0{,}8\pi = 2{,}51\ \text{m s}^{-1}\qquad a_{\text{osc}} = -1{,}6\pi^2\cdot(-1)\cdot0 = 0

El punto

x = 2\,\text{m}

es un vientre (

\cos\pi = -1

, amplitud máxima

0{,}4\,\text{m}

); en

t = 0{,}25\,\text{s}

pasa por la posición de equilibrio (

y = 0

), por eso su velocidad es máxima y su aceleración nula.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que la ecuación sea un producto $f(x)\cdot g(t)$ (y no una función de $(\omega t - kx)$ ) delata una onda estacionaria. En $t=0{,}25\,\text{s}$ el factor temporal $\cos(2\pi t)=0$ : por eso la aceleración se anula justo cuando el punto pasa por su posición de equilibrio con velocidad máxima.

Paso 1 de 3

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