Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) La velocidad de propagación de una onda depende solo del medio (de la tensión y la densidad lineal de la cuerda), no de la frecuencia del foco. Como ambas se propagan por el mismo medio, $v_1 = v_2 = v$.

Longitud de onda. De $v = \lambda f$ con $v$ constante, $\lambda$ es inversamente proporcional a $f$. Siendo $f_1 = 2f_2$:$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_2 = 2\,\lambda_1$$La segunda onda tiene el doble de longitud de onda.

Periodo. Como $T = 1/f$:$$T_2 = 2\,T_1$$La segunda onda tiene también el doble de periodo: oscila la mitad de rápido.

a) ii) Escribimos la primera onda como referencia:$$y_1(x,t) = A\,\text{sen}(\omega_1 t - k_1 x)$$Para la segunda, con la misma amplitud $A$, el mismo sentido de propagación y frecuencia mitad:$$\omega_2 = 2\pi f_2 = 2\pi\,\frac{f_1}{2} = \frac{\omega_1}{2} \qquad k_2 = \frac{2\pi}{\lambda_2} = \frac{2\pi}{2\lambda_1} = \frac{k_1}{2}$$Ambos parámetros se reducen a la mitad, luego$$y_2(x,t) = A\,\text{sen}\!\left(\frac{\omega_1}{2}\,t - \frac{k_1}{2}\,x\right) = A\,\text{sen}\!\left[\frac{1}{2}(\omega_1 t - k_1 x)\right]$$Comprobación: la velocidad de propagación de la segunda es $v_2 = \omega_2/k_2 = (\omega_1/2)/(k_1/2) = \omega_1/k_1 = v_1$ ✓, tal como exigía el enunciado.

b) i) Identificamos los parámetros de la ecuación dada:$$A = 5\ \text{m} \qquad \omega = 50\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = 20\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{50\pi}{20\pi}$$$$v = 2{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(De paso: $T = 2\pi/\omega = 0{,}04\,\text{s}$, $f = 25\,\text{Hz}$ y $\lambda = 2\pi/k = 0{,}1\,\text{m}$.)

b) ii) La velocidad de oscilación es la derivada respecto al tiempo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 5\cdot 50\pi\,\cos(50\pi\,t - 20\pi\,x) = 250\pi\,\cos(50\pi\,t - 20\pi\,x)$$Evaluamos en $x = 0$ y $t = 1\,\text{s}$. La fase vale $50\pi$, un múltiplo par de $\pi$, así que el coseno alcanza su valor máximo:$$\cos(50\pi) = 1$$$$v_y(0,1) = 250\pi$$$$v_y = 785\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es, además, el valor máximo de la velocidad de oscilación: en ese instante el punto $x = 0$ pasa por su posición de equilibrio.

b) iii) La diferencia de fase entre dos puntos separados $\Delta x$ es$$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 20\pi\cdot 1$$$$\Delta\varphi = 20\pi\ \text{rad}$$Como $20\pi = 10\cdot 2\pi$, corresponde a diez vueltas completas: el desfase efectivo es nulo y los dos puntos están en fase.

Se ve igual de claro con la longitud de onda: $\Delta x = 1\,\text{m}$ y $\lambda = 0{,}1\,\text{m}$, luego $\Delta x = 10\,\lambda$, un número entero de longitudes de onda. Los dos puntos oscilan exactamente al unísono.