Óptica geométrica: lentes y espejos

a) Datos: $v_1 = 2v_2$, $f_1 = f_2/2$, $A_1 = A_2$.

i) Longitudes de onda:$$\lambda = \frac{v}{f} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1/f_1}{v_2/f_2} = \frac{v_1}{v_2}\cdot\frac{f_2}{f_1} = 2\cdot 2 = 4$$$$\lambda_1 = 4\,\lambda_2$$ii) Velocidad máxima de oscilación (¡no la de propagación!):$$v_{\text{osc,máx}} = A\,\omega = 2\pi f A \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_{\text{osc,máx},1}}{v_{\text{osc,máx},2}} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{1}{2}$$La primera onda oscila con la mitad de velocidad máxima que la segunda, aunque se propague al doble.

b1) i) Criterio de signos (DIN): origen en el vértice; la luz llega de izquierda a derecha; las distancias son positivas hacia la derecha. El objeto real está a la izquierda, $s = -75\,\text{cm}$. Como la imagen es invertida, es real, y en un espejo las imágenes reales se forman delante (a la izquierda): $s' = -37{,}5\,\text{cm}$.

Ecuación del espejo:$$\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{2}{R}$$$$\frac{1}{-37{,}5} + \frac{1}{-75} = -0{,}02667 - 0{,}01333 = -0{,}04\ \text{cm}^{-1} = \frac{2}{R}$$$$R = \frac{2}{-0{,}04} = -50\ \text{cm} \qquad\text{y}\qquad f = \frac{R}{2} = -25\ \text{cm}$$El signo negativo de $R$ confirma que el centro de curvatura está delante del espejo: es cóncavo, como decía el enunciado.

ii) Aumento lateral:$$\beta = -\frac{s'}{s} = -\frac{-37{,}5}{-75} = -0{,}5$$$$y' = \beta\,y = -0{,}5\cdot 4 = -2\ \text{cm}$$Imagen invertida (signo negativo) y de $2\,\text{cm}$ de altura, la mitad del objeto.

iii) Trazado de rayos: el objeto está más allá del centro de curvatura ($|s| = 75 > |R| = 50$). El rayo paralelo al eje se refleja pasando por el foco; el rayo que pasa por el centro de curvatura vuelve sobre sí mismo; el rayo que va al foco sale paralelo. Los tres rayos reflejados se cortan realmente entre el foco y el centro de curvatura, dando una imagen real, invertida y menor, que es exactamente lo que dicen los números.

b2) i) El rayo entra en el vidrio acercándose a la normal, atraviesa la lámina en línea recta y, al salir por la cara inferior (paralela a la primera), se aleja de la normal recuperando el ángulo inicial de $45^\circ$. El rayo emergente es paralelo al incidente, desplazado lateralmente.

ii) Refracción en la cara superior:$$1\cdot\text{sen}\,45^\circ = 1{,}6\,\text{sen}\,r \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,r = \frac{0{,}707}{1{,}6} = 0{,}442$$$$r = 26{,}2^\circ$$En la cara inferior, aplicando Snell de nuevo con incidencia $26{,}2^\circ$ desde el vidrio:$$1{,}6\,\text{sen}\,26{,}2^\circ = 1\cdot\text{sen}\,\hat{\imath}_{\text{salida}} = \text{sen}\,45^\circ$$$$\hat{\imath}_{\text{salida}} = 45^\circ$$iii) El camino recorrido dentro de la lámina no es el espesor, sino la hipotenusa:$$d = \frac{e}{\cos r} = \frac{0{,}08}{\cos 26{,}2^\circ} = \frac{0{,}08}{0{,}897} = 8{,}92\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$La velocidad en el vidrio es$$v = \frac{c}{n} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}6} = 1{,}875\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$$$t = \frac{d}{v} = \frac{8{,}92\cdot 10^{-2}}{1{,}875\cdot 10^{8}} = 4{,}76\cdot 10^{-10}\ \text{s}$$