Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Partimos de la ecuación general de una onda armónica:$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t \mp k x + \varphi_0)$$La velocidad de oscilación de un punto es la derivada temporal, y la aceleración la segunda derivada:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\dots) \qquad a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\,\omega^2\,\text{sen}(\dots)$$Como el seno y el coseno valen a lo sumo $1$:$$v_{\text{máx}} = A\,\omega \qquad a_{\text{máx}} = A\,\omega^2$$i) Se duplica la amplitud sin cambiar el periodo ($A' = 2A$, $\omega' = \omega$). Ambas magnitudes son proporcionales a $A$:$$v'_{\text{máx}} = 2A\omega = 2\,v_{\text{máx}} \qquad a'_{\text{máx}} = 2A\omega^2 = 2\,a_{\text{máx}}$$Las dos se duplican.

ii) Se duplica la frecuencia sin cambiar la amplitud ($\omega' = 2\omega$, $A' = A$):$$v'_{\text{máx}} = A(2\omega) = 2\,v_{\text{máx}} \qquad a'_{\text{máx}} = A(2\omega)^2 = 4A\omega^2 = 4\,a_{\text{máx}}$$La velocidad máxima se duplica, pero la aceleración máxima se hace cuatro veces mayor, porque depende del cuadrado de $\omega$.

b) Comparando la ecuación dada con la forma general se lee directamente$$A = 0{,}2\ \text{m}\qquad k = 0{,}2\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}\qquad \omega = 0{,}25\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$i) Frecuencia y longitud de onda:$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{0{,}25\pi}{2\pi} = 0{,}125\ \text{Hz} \qquad\left(T = \frac{1}{f} = 8\ \text{s}\right)$$$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0{,}2\pi} = 10\ \text{m}$$ii) Velocidad de propagación:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{0{,}25\pi}{0{,}2\pi} = 1{,}25\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Los términos $0{,}2\pi x$ y $0{,}25\pi t$ tienen el mismo signo, luego la fase se mantiene constante cuando $x$ disminuye al aumentar $t$: la onda se propaga a lo largo del eje $X$ en sentido negativo.

iii) Velocidad máxima de oscilación:$$v_{\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}2\cdot 0{,}25\pi = 0{,}05\pi = 0{,}157\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$