Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Para que la superposición de dos ondas dé lugar a una onda estacionaria, ambas deben tener:

• la misma amplitud $A$;
• la misma frecuencia (y por tanto la misma $\omega$);
• la misma longitud de onda (el mismo $k$);
• y propagarse en sentidos opuestos a lo largo de la misma dirección.

En la práctica se consigue con una onda y su reflejada en un extremo fijo de la cuerda. Sus ecuaciones son$$y_1(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - k x) \qquad y_2(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + k x)$$Sumándolas y aplicando la identidad $\text{sen}\,\alpha + \text{sen}\,\beta = 2\,\text{sen}\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$:$$y(x,t) = y_1 + y_2 = 2A\,\text{sen}(\omega t)\cos(k x)$$Si en cambio se escriben las ondas como $y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t)$ e $y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t)$ (otra elección del origen de fases, con extremo fijo en $x = 0$), la suma es$$y(x,t) = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$$que es la forma del enunciado. Lo característico es que las variables aparecen separadas: cada punto oscila con una amplitud fija ($|2A\cos(kx)|$ o $|2A\,\text{sen}(kx)|$, según la forma) que depende de su posición, y el perfil no viaja.

b) i) Comparando con $y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$ se lee$$k = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 20\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Longitud de onda:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6\ \text{m}$$Los nodos son los puntos que nunca se mueven, donde la amplitud espacial se anula:$$\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{3}x = n\pi \quad\Longrightarrow\quad x = 3n\ \text{m} \quad (n = 0,1,2,\dots)$$Están separados $3\,\text{m}$, es decir, $\lambda/2$, como corresponde. Contando desde el primero ($x = 0$):

• 2.º nodo: $x = 3\,\text{m}$
• 5.º nodo: $x = 12\,\text{m}$

$$d = 12 - 3 = 9\ \text{m}$$(equivalentemente, tres intervalos de $\lambda/2$: $3\cdot 3 = 9\,\text{m}$).

b) ii) La velocidad de vibración es la derivada temporal, con $x$ fijo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -10\cdot 20\pi\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}x\right)\text{sen}(20\pi t)$$$$v_y = -200\pi\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}x\right)\text{sen}(20\pi t)$$Evaluamos los dos senos por separado. Para $x = 4{,}5\,\text{m}$:$$\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\cdot 4{,}5\right) = \text{sen}(1{,}5\pi) = -1$$(es un vientre: amplitud máxima). Para $t = 0{,}4\,\text{s}$:$$\text{sen}(20\pi\cdot 0{,}4) = \text{sen}(8\pi) = 0$$Por tanto:$$v_y = -200\pi\cdot(-1)\cdot 0 = 0\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$El punto está en un vientre, pero en ese instante se encuentra en su elongación máxima (donde la velocidad es nula y la aceleración máxima). Como $8\pi$ corresponde a un número entero de periodos, es exactamente la misma situación que en $t = 0$.