Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Deben ser dos ondas armónicas de la misma naturaleza, amplitud, frecuencia y longitud de onda (luego la misma velocidad), que se propaguen en la misma dirección y sentidos opuestos. En una cuerda con extremos fijos esto ocurre de forma natural: la onda incidente se refleja en cada extremo y la reflejada se superpone con ella. Sumando$$y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t),\qquad y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t)$$$$y = y_1 + y_2 = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$$que ya no es una onda viajera: cada punto oscila con la frecuencia $\omega$ de las ondas originales y con una amplitud $2A\,\text{sen}(kx)$ que depende de su posición. Hay nodos (amplitud nula, $kx = n\pi$, separados $\lambda/2$) y vientres (amplitud $2A$). Con amplitudes o frecuencias distintas, la superposición no daría puntos permanentemente en reposo.

Además, como los dos extremos de la cuerda están fijos, ambos deben ser nodos: solo se forman ondas estacionarias si la longitud de la cuerda es un múltiplo entero de media longitud de onda, $L = n\,\dfrac{\lambda}{2}$ ($n = 1, 2, 3,\dots$), es decir, para las frecuencias $f_n = n\,\dfrac{v}{2L}$.

b) Comparando con $2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$: $2A = 2\Rightarrow A = 1\,\text{m}$ (amplitud de cada onda; la amplitud máxima en los vientres es $2\,\text{m}$). Con $k = \pi/4$ y $\omega = 8\pi$:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = 8\ \text{m}\qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{8\pi} = 0{,}25\ \text{s}\qquad f = 4\ \text{Hz}$$$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{8\pi}{\pi/4} = 32\ \text{m s}^{-1}$$