FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Andalucía · 2024 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

a) i) Escriba la ecuación general de una onda estacionaria y explique el significado físico de cada una de las magnitudes involucradas, junto con sus unidades en el Sistema Internacional. ii) ¿Qué son los vientres y nodos de una onda estacionaria?

b) Una onda armónica se propaga con una velocidad de

20\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

en la dirección negativa del eje

OX

. La frecuencia es de

100\,\text{Hz}

y la amplitud de oscilación es de

2\cdot 10^{-3}\,\text{m}

. En el instante inicial, la elongación de la onda en el origen es de

1\cdot 10^{-3}\,\text{m}

. Determine: i) el periodo; ii) la longitud de onda; iii) la expresión matemática de la onda.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t);\ \text{nodos: } \text{sen}(kx)=0;\ \text{vientres: } |\text{sen}(kx)|=1\;}

\boxed{\;T = 0{,}01\ \text{s}\qquad \lambda = 0{,}2\ \text{m}\;}

\boxed{\;y(x,t) = 2\cdot 10^{-3}\,\text{sen}\!\left(200\pi t + 10\pi x + \tfrac{\pi}{6}\right)\ (\text{SI})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b) iii) hay dos detalles que deciden la nota: el sentido de propagación (hacia

-X

obliga a que

\omega t

kx

lleven el mismo signo) y la fase inicial, que se obtiene imponiendo la condición del enunciado. Como la elongación inicial en el origen es justo la mitad de la amplitud, el seno de la fase vale

0{,}5

y sale un ángulo redondo.

Desarrollo

a) i) Una onda estacionaria surge de la superposición de dos ondas armónicas iguales que se propagan en sentidos opuestos. Su ecuación general puede escribirse como

y(x,t) = 2A\,\text{sen}(k\,x)\,\cos(\omega\,t)

(o con seno y coseno intercambiados, según dónde se sitúe el origen). El significado de cada magnitud:

$y$ : elongación, separación del punto respecto a su posición de equilibrio, en metros (m).
$2A$ : amplitud máxima de la onda estacionaria, doble que la de cada onda componente, en metros (m).
$k = 2\pi/\lambda$ : número de ondas, en $\text{rad}\,\text{m}^{-1}$ .
$\omega = 2\pi f$ : frecuencia angular, en $\text{rad}\,\text{s}^{-1}$ .
$x$ : posición del punto de la cuerda, en metros (m); $t$ : tiempo, en segundos (s).

Lo característico es que la parte espacial y la temporal aparecen separadas: el factor

2A\,\text{sen}(kx)

es una amplitud que depende de la posición, y todos los puntos oscilan con la misma frecuencia. Por eso no hay propagación neta de energía: el perfil no viaja.

a) ii) Precisamente por esa amplitud dependiente de la posición:

Los nodos son los puntos que permanecen siempre en reposo, donde la amplitud se anula: $\text{sen}(kx) = 0$ . Están separados entre sí media longitud de onda, $\lambda/2$ .
Los vientres (o antinodos) son los puntos que oscilan con amplitud máxima $2A$ : $|\text{sen}(kx)| = 1$ . También están separados $\lambda/2$ entre sí, y cada vientre queda a $\lambda/4$ de los nodos vecinos.

b) i) Periodo:

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{100} = 0{,}01\ \text{s}

b) ii) Longitud de onda:

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20}{100} = 0{,}2\ \text{m}

b) iii) Constantes de la onda:

\omega = 2\pi f = 200\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

Como se propaga en el sentido negativo del eje

OX

, los términos

\omega t

kx

llevan el mismo signo:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + k x + \varphi_0)

Imponemos la condición inicial: en

t = 0

x = 0

, la elongación vale

1\cdot 10^{-3}\,\text{m}

, es decir, la mitad de la amplitud:

2\cdot 10^{-3}\,\text{sen}\,\varphi_0 = 1\cdot 10^{-3} \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}

y(x,t) = 2\cdot 10^{-3}\,\text{sen}\!\left(200\pi\,t + 10\pi\,x + \frac{\pi}{6}\right)\ \ (\text{SI})

(La solución

\varphi_0 = 5\pi/6

también satisface la condición de elongación; se elige

\pi/6

salvo que se dé además el sentido de la velocidad inicial.)

Consejo

Hacia $-X$ los signos de $\omega t$ y $kx$ coinciden. Es el detalle que más se falla al escribir una ecuación de onda, y basta un signo para perder el apartado entero.

Y la fase inicial no es cero: sale de imponer $y(0,0) = 10^{-3}\,\text{m}$ . Como es la mitad de la amplitud, $\varphi_0 = \pi/6$ . Justifica de dónde sale, que es lo que se corrige.

Paso 1 de 3

¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.

Sigue practicando

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Se desea obtener una imagen virtual y de mayor tamaño que el objeto utilizando una lente delgada. Justifique…

Física · Andalucía · 2025 · Junio Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales, proporcionando un ejemplo representativo…

Física · Andalucía · 2024 · Julio Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) Demuestre razonadamente, a partir de la ecuación de onda, cómo varían la velocidad y la aceleración máxima…

Física · Andalucía · 2024 · Junio Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Escriba la ecuación de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa en el sentido…

Física · Andalucía · 2023 · Reserva 3

Apuntes y todos los problemas de Vibraciones y ondas →