Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Una onda estacionaria resulta de superponer dos ondas idénticas que viajan en sentidos opuestos. Su ecuación es$$y(x,t) = 2A\,\text{sen}(k\,x)\cos(\omega\,t)$$Lo característico es que las variables aparecen separadas: el factor $2A\,\text{sen}(kx)$ es una amplitud que depende de la posición, y todos los puntos oscilan con la misma frecuencia. El perfil no se desplaza, de ahí el nombre.

• Nodos: puntos que permanecen siempre en reposo, porque su amplitud local es nula.
• Vientres (o antinodos): puntos que oscilan con amplitud máxima $2A$.

a) ii) Los nodos cumplen $\text{sen}(kx) = 0$:$$k\,x = n\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{2\pi}{\lambda}x = n\pi \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x_{\text{nodo}} = n\,\frac{\lambda}{2}} \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)$$Están separados media longitud de onda.

Los vientres cumplen $|\text{sen}(kx)| = 1$:$$k\,x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x_{\text{vientre}} = (2n+1)\,\frac{\lambda}{4}}$$También separados $\lambda/2$ entre sí, y situados justo a $\lambda/4$ de cada nodo vecino.

b) De la ecuación se lee directamente$$A = 3\ \text{m} \qquad \omega = 0{,}5\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = \pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$(Los signos opuestos de $\omega t$ y $kx$ indican que se propaga hacia $+X$, con $v = \omega/k = 0{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ y $\lambda = 2\pi/k = 2\,\text{m}$.)

b) i) La velocidad de vibración es la derivada temporal:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 3\cdot 0{,}5\pi\,\cos(0{,}5\pi t - \pi x) = 1{,}5\pi\cos(0{,}5\pi t - \pi x)$$Su valor máximo se alcanza cuando el coseno vale $1$:$$v_{\text{máx}} = A\,\omega = 3\cdot 0{,}5\pi = 1{,}5\pi = 4{,}71\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) ii) La aceleración es la segunda derivada temporal:$$a_y(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -3\,(0{,}5\pi)^2\,\text{sen}(0{,}5\pi t - \pi x) = -7{,}40\,\text{sen}(0{,}5\pi t - \pi x)$$Evaluamos el argumento en $x = 1\,\text{m}$ y $t = 4\,\text{s}$:$$0{,}5\pi\cdot 4 - \pi\cdot 1 = 2\pi - \pi = \pi\ \text{rad}$$Y como $\text{sen}\,\pi = 0$:$$a_y = -7{,}40\cdot 0 = 0\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$En ese instante el punto pasa por su posición de equilibrio ($y = 3\,\text{sen}\,\pi = 0$), donde la fuerza recuperadora es nula y, por tanto, también la aceleración; su velocidad, en cambio, es máxima en valor absoluto.