Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Una onda estacionaria se obtiene al superponer dos ondas armónicas idénticas que viajan en sentidos opuestos. Sumándolas y aplicando $\text{sen}\,a + \text{sen}\,b = 2\,\text{sen}\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$:$$y = A\,\text{sen}(kx - \omega t) + A\,\text{sen}(kx + \omega t) = \underbrace{2A\,\text{sen}(k x)}_{\text{amplitud}}\cdot\cos(\omega t)$$En esta expresión, la parte que depende de $x$ no viaja: multiplica a la oscilación temporal actuando como una amplitud que depende de la posición:$$A(x) = 2A\,\text{sen}(k x)$$Cada punto del medio oscila con la misma frecuencia $\omega$, pero con una amplitud propia fijada por su posición. Ésta es la diferencia esencial con una onda viajera, en la que todos los puntos oscilan con la misma amplitud y lo que cambia de un punto a otro es la fase.

a) ii) La representación gráfica de $y$ frente a $x$ (en un instante dado) es una sinusoide cuya envolvente son dos curvas simétricas, $+2A\,\text{sen}(kx)$ y $-2A\,\text{sen}(kx)$. Entre ellas oscila la cuerda, pasando por posiciones intermedias a lo largo del tiempo. El perfil no se desplaza: solo se "infla" y se "desinfla" entre las dos envolventes.

Un nodo es un punto del medio que permanece siempre en reposo, con amplitud nula:$$A(x) = 2A\,\text{sen}(k x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{\text{nodo}} = n\,\frac{\lambda}{2}, \qquad n = 0, 1, 2,\dots$$Dos nodos consecutivos están separados media longitud de onda. Entre cada par de nodos hay un vientre, punto de amplitud máxima $2A$.

b) i) Comparamos la ecuación dada con la forma general $y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$:$$2A = 0{,}5\ \text{m} \qquad k = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 40\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$Amplitud de cada onda componente:$$A = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25\ \text{m}$$Longitud de onda (la misma para las componentes y para la estacionaria):$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6\ \text{m}$$Velocidad de propagación de las ondas componentes:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{40\pi}{\pi/3} = 120\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(También $v = \lambda f$, con $f = \omega/2\pi = 20\,\text{Hz}$: $v = 6\cdot 20 = 120\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ ✓.)

Conviene precisar el sentido de este número: la onda estacionaria no se propaga. Los $120\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ son la velocidad de cada una de las dos ondas viajeras que, al superponerse, la producen.

b) ii) Los vientres son los puntos de amplitud máxima, donde el seno vale $\pm 1$:$$\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \pm 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{3}x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$$$x = \frac{3}{2} + 3n\ \ \text{m}, \qquad n = 0, 1, 2,\dots$$Es decir, los vientres están en $x = 1{,}5;\ 4{,}5;\ 7{,}5;\ 10{,}5\ \text{m}\dots$, separados $3\,\text{m}$ entre sí, que es exactamente $\lambda/2$ ✓.

Amplitud de los vientres:$$A_{\text{vientre}} = 2A = 0{,}5\ \text{m}$$(el doble de la amplitud de cada onda componente, que es lo que ocurre cuando ambas llegan en fase).