Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) La longitud de onda es el espacio recorrido en un periodo:$$\lambda = v\,T$$Si el periodo se duplica ($T' = 2T$) manteniendo la velocidad:$$\lambda' = v\,(2T) = 2\,\lambda$$La longitud de onda se duplica. Tiene sentido: la onda avanza a la misma velocidad, pero cada oscilación dura el doble, así que cada "ondulación" ocupa el doble de espacio.

a) ii) La frecuencia angular es$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$inversamente proporcional al periodo, luego$$\omega' = \frac{2\pi}{2T} = \frac{\omega}{2}$$La frecuencia angular se reduce a la mitad (y con ella la frecuencia $f$).

b) Comparando con la forma general $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$ se lee$$A = 3\ \text{m} \qquad \omega = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} \qquad k = \pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$(los signos opuestos indican propagación hacia $+X$).

b) i) Velocidad de propagación, a la que avanza la perturbación:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/2}{\pi} = 0{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Velocidad máxima de vibración, a la que sube y baja cada punto de la cuerda:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t - kx) \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{máx}} = A\,\omega = 3\cdot\frac{\pi}{2}$$$$v_{\text{máx}} = 1{,}5\pi = 4{,}71\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Obsérvese que son magnitudes distintas y que aquí la de vibración es casi diez veces mayor.

b) ii) Para dos puntos en un mismo instante, la diferencia de fase depende solo de la separación espacial:$$\Delta\varphi = k\,\Delta x \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{\Delta\varphi}{k} = \frac{3\pi/2}{\pi}$$$$\Delta x = 1{,}5\ \text{m}$$(Comprobación: $\lambda = 2\pi/k = 2\,\text{m}$, y $3\pi/2$ es tres cuartos de vuelta, luego $\Delta x = \frac{3}{4}\lambda = 1{,}5\,\text{m}$. ✓)