Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) No son lo mismo. Para una onda armónica $y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$:

• La velocidad de propagación es la velocidad con la que avanza la perturbación (el perfil de la onda) a lo largo de la dirección de propagación:

$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}$$Es constante para un medio dado: depende de las propiedades del medio (por ejemplo, tensión y densidad lineal en una cuerda), no del tiempo ni de la posición.

• La velocidad de vibración es la velocidad con la que cada punto del medio oscila alrededor de su posición de equilibrio (en una onda transversal, perpendicular a la propagación):

$$v_{\text{vib}} = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx)$$Varía con el tiempo y la posición, entre $-A\omega$ y $+A\omega$, y depende de la amplitud y de la frecuencia del foco.

Por tanto son magnitudes distintas en significado, dirección (en ondas transversales son perpendiculares) y dependencia: una describe el avance de la energía y la otra el movimiento de las partículas, que no avanzan con la onda.

b.i) Comparando con $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$: $A = 4\,\text{m}$, $\omega = 10\pi\,\text{rad s}^{-1}$ y $k = 0{,}1\pi\,\text{rad m}^{-1}$.$$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{10\pi}{0{,}1\pi} = 100\ \text{m s}^{-1}$$Los términos $\omega t$ y $kx$ tienen signos opuestos, así que la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$.

b.ii) Velocidad de vibración:$$v_{\text{vib}} = \frac{\partial y}{\partial t} = 40\pi\cos(10\pi t - 0{,}1\pi x)\ \ \text{m s}^{-1}$$Su valor máximo, $40\pi \approx 126\,\text{m s}^{-1}$, se alcanza cuando $\cos = \pm1$, es decir, cuando el punto pasa por la posición de equilibrio. Para $x = 5\,\text{cm} = 0{,}05\,\text{m}$: $10\pi t - 0{,}1\pi(0{,}05) = n\pi$$$10\,t - 0{,}005 = n\Rightarrow t = \frac{n + 0{,}005}{10}\quad\Rightarrow\quad t_{\min} = 5\cdot10^{-4}\ \text{s}\ (n=0)$$La primera vez es en $t = 5\cdot10^{-4}\,\text{s}$, y se repite cada medio periodo ($T = 2\pi/\omega = 0{,}2\,\text{s}$): $t = 5\cdot10^{-4} + 0{,}1\,n\ \text{s}$. Con $n$ par el punto pasa por el equilibrio subiendo ($v_{\text{vib}} = +40\pi$) y con $n$ impar bajando ($v_{\text{vib}} = -40\pi$).