Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) i) Verdadera. Una onda estacionaria se obtiene al superponer dos ondas armónicas idénticas, de amplitud $A$ cada una, que viajan en sentidos opuestos:$$y = A\,\text{sen}(\omega t - kx) + A\,\text{sen}(\omega t + kx) = 2A\,\cos(k x)\,\text{sen}(\omega t)$$El factor $2A\cos(kx)$ actúa como una amplitud que depende de la posición. En los vientres, donde $|\cos(kx)| = 1$, alcanza su valor máximo:$$A_{\text{vientre}} = 2A$$es decir, el doble de la amplitud de cada onda componente. Es el resultado de la interferencia constructiva: en esos puntos las dos ondas llegan siempre en fase.

a) ii) Falsa. La distancia entre un nodo y el vientre contiguo es un cuarto de longitud de onda, no media.

Los nodos son los ceros de la amplitud espacial y los vientres sus máximos. Entre dos ceros consecutivos de un coseno hay media longitud de onda, y el máximo cae justo en medio:$$\text{nodo} \to \text{vientre}: \quad \frac{\lambda}{4}$$Las distancias características de una onda estacionaria son, por tanto:$$\text{nodo} \to \text{nodo}: \ \frac{\lambda}{2} \qquad \text{vientre} \to \text{vientre}: \ \frac{\lambda}{2} \qquad \text{nodo} \to \text{vientre}: \ \frac{\lambda}{4}$$La afirmación confunde la primera con la tercera.

b) i) Comparando la ecuación dada con la forma general $y = 2A\cos(kx)\,\text{sen}(\omega t)$:$$2A = 0{,}05\ \text{m} \qquad k = 2\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} \qquad \omega = 15\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$$La amplitud máxima de la onda estacionaria, la de los vientres, es$$A_{\text{máx}} = 2A = 0{,}05\ \text{m}$$(y cada una de las dos ondas componentes tiene amplitud $A = 0{,}025\,\text{m}$).

b) ii) Longitud de onda y frecuencia:$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\ \text{m} \qquad f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{15\pi}{2\pi} = 7{,}5\ \text{Hz}$$Velocidad de propagación de las ondas componentes:$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{15\pi}{2\pi}$$$$v = 7{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(También $v = \lambda f = 1\cdot 7{,}5 = 7{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ ✓.) Conviene precisar el sentido de este número: la onda estacionaria no se propaga; los $7{,}5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ son la velocidad de cada una de las dos ondas viajeras que, al superponerse, la producen.

b) iii) Derivamos respecto al tiempo para obtener la velocidad de oscilación:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}05\cdot 15\pi\,\cos(2\pi x)\cos(15\pi t) = 0{,}75\pi\,\cos(2\pi x)\cos(15\pi t)$$Su valor máximo en un punto dado se alcanza cuando $\cos(15\pi t) = \pm 1$:$$v_{\text{máx}}(x) = 0{,}75\pi\,|\cos(2\pi x)|$$Evaluamos en $x = 0{,}75\,\text{m}$:$$\cos(2\pi\cdot 0{,}75) = \cos(1{,}5\pi) = 0$$$$v_{\text{máx}}(0{,}75) = 0{,}75\pi\cdot 0$$$$v_{\text{máx}} = 0\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$La velocidad de oscilación es nula, y no es un error de cálculo: el punto $x = 0{,}75\,\text{m}$ es un nodo de la onda estacionaria. Allí la amplitud es cero y la partícula permanece siempre en reposo, por mucho que la cuerda vibre a su alrededor.

Se puede comprobar localizando los nodos: son los ceros de $\cos(2\pi x)$, es decir,$$2\pi x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}25 + 0{,}5\,n\ \ \text{m}$$o sea $x = 0{,}25;\ 0{,}75;\ 1{,}25\dots\,\text{m}$, separados $\lambda/2 = 0{,}5\,\text{m}$ ✓. El punto pedido es el segundo de ellos.