Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · Bloque de Probabilidad

Probabilidad y estadística

El bloque más «traducible» del examen: cada enunciado es una historia (fábricas, análisis, urnas) que hay que convertir en sucesos y probabilidades. Con tres herramientas —la condicionada, el teorema de Bayes y la distribución normal— se responde prácticamente todo.

6problemas de examen
2simulaciones
3apartados
2025PAU Andalucía
1

Sucesos, condicionada e independencia

3 problemas en el banco

La idea. Toda la probabilidad elemental cabe en tres fórmulas: la de la unión, la condicionada (probabilidad «sabiendo que…») y el criterio de independencia. El trabajo de verdad es traducir el enunciado: «al menos uno», «ninguno», «sabiendo que» — cada frase es una operación con sucesos.

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \qquad\quad P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ Y el diccionario: «al menos uno» = unión; «los dos» = intersección; «ninguno» = complementario de la unión.

Independencia e incompatibilidad: primos, no hermanos

IndependientesIncompatibles
Definición$P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$$A\cap B = \varnothing$, o sea $P(A\cap B) = 0$
IntuiciónSaber que ocurrió $B$ no cambia nada sobre $A$No pueden ocurrir a la vez
¿Compatibles entre sí?Solo si alguno tiene probabilidad 0: dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes
«Incompatibles» no significa «independientes» — significa casi lo contrario. Si $A$ y $B$ no pueden ocurrir a la vez, saber que ocurrió $B$ da muchísima información sobre $A$: que no ocurrió. La confusión entre las dos palabras es el error conceptual número uno del bloque.

$A$ y $B$ son incompatibles, con $P(A) = 0{,}3$ y $P(B) = 0{,}4$. ¿Son independientes?

No son independientes. Independencia exige $P(A\cap B) = P(A)P(B)$; aquí el lado izquierdo vale 0 (incompatibles) y el derecho 0,12. Con probabilidades positivas, incompatibilidad e independencia se excluyen mutuamente.
Ejemplo resuelto Cuestión tipo de Selectividad

De dos sucesos se sabe que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ y $P(A\cap B) = 0{,}2$. Calcula $P(A\cup B)$ y $P(A\mid B)$, y razona si $A$ y $B$ son independientes.

Ver la solución paso a paso

La unión

$$P(A\cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$$

La condicionada

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5$$

¿Independientes?

Dos comprobaciones equivalentes, cualquiera vale:

$$P(A)\,P(B) = 0{,}5\cdot 0{,}4 = 0{,}2 = P(A\cap B)\ \checkmark \qquad\quad P(A\mid B) = 0{,}5 = P(A)\ \checkmark$$

Sí, son independientes: saber que ocurrió $B$ deja la probabilidad de $A$ exactamente donde estaba.

«Razona» significa enseñar la comprobación numérica, no escribir «sí porque no se afectan». La justificación es la igualdad $P(A\cap B) = P(A)P(B)$, con los números delante.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

  • Confundir incompatibles con independientes.
  • Olvidar restar la intersección en la unión (contarla dos veces).
  • Traducir mal «al menos uno»: es la unión, y a menudo lo cómodo es $1 - P(\text{ninguno})$.
  • Invertir la condicionada: $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$ no son lo mismo.
  • Justificar la independencia «de palabra», sin la comprobación numérica.
3problemas de probabilidad en el banco (con el apartado 2)
1−Pel atajo del complementario para «al menos uno»
2

Probabilidad total y teorema de Bayes

el problema estrella del bloque

La idea. Cuando el experimento ocurre «en dos etapas» (elegir fábrica → salir defectuoso), el diagrama de árbol lo ordena todo. La probabilidad total suma todas las ramas que llevan al suceso; Bayes hace la pregunta inversa: ya sé que ocurrió — ¿de qué rama vino?

$$P(B) = \sum_i P(A_i)\,P(B\mid A_i) \qquad\qquad P(A_k\mid B) = \frac{P(A_k)\,P(B\mid A_k)}{P(B)}$$ Bayes en versión árbol: la rama que te interesa, dividida entre la suma de todas las ramas que dan $B$.
Bayes invierte la condición — leer el enunciado decide quién condiciona a quién. «La probabilidad de que un tornillo defectuoso venga de la fábrica 1» es $P(A_1\mid B)$, no $P(B\mid A_1)$ (que es el dato del enunciado, el 7 %). Detectar cuál te dan y cuál te piden es el 80 % del problema.

En un problema de árbol te dan las probabilidades de cada rama y te preguntan «sabiendo que el producto salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la fábrica 2?». ¿Qué necesitas calcular primero?

Primero la total. Bayes es «mi rama entre todas las ramas»: el numerador es $P(A_2)P(B\mid A_2)$ y el denominador, la probabilidad total $P(B)$ sumando las tres ramas. Responder con el dato del enunciado ($P(B\mid A_2)$) es exactamente la inversión que Bayes viene a corregir.

Míralo

Árbol de probabilidad: total y Bayes Abrir aparte ↗
Pruébalo El árbol arranca con las tres fábricas del ejemplo de abajo (20 %, 50 % y 30 % de la producción, con un 7 %, 6 % y 2 % de defectos). Sigue las ramas y comprueba la probabilidad total del 5 %. Después cambia el 2 % de la tercera fábrica por un 10 % y observa cómo se reparten de nuevo las culpas: Bayes recalcula todos los «de dónde vino» a la vez.
Ejemplo resuelto Problema tipo de Selectividad

Tres fábricas producen el 20 %, el 50 % y el 30 % de los tornillos de una empresa, con porcentajes de defectuosos del 7 %, 6 % y 2 % respectivamente. Se elige un tornillo al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Si ha resultado defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera fábrica?

Ver la solución paso a paso

a) Probabilidad total: sumar las ramas

$$P(D) = 0{,}2\cdot 0{,}07 + 0{,}5\cdot 0{,}06 + 0{,}3\cdot 0{,}02 = 0{,}014 + 0{,}030 + 0{,}006 = 0{,}05$$

Un 5 % de los tornillos de la empresa son defectuosos.

b) Bayes: mi rama entre todas

$$P(F_1\mid D) = \frac{P(F_1)\,P(D\mid F_1)}{P(D)} = \frac{0{,}2\cdot 0{,}07}{0{,}05} = \frac{0{,}014}{0{,}05} = 0{,}28$$

El 28 %. Fíjate en el giro: la fábrica 1 solo hace el 20 % de los tornillos, pero como es la que más falla, carga con una parte mayor de los defectuosos.

Comprobación elegante: calcula también $P(F_2\mid D) = 0{,}6$ y $P(F_3\mid D) = 0{,}12$. Las tres deben sumar 1 — si no suman, hay una rama mal escrita.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

  • Responder con $P(B\mid A)$ cuando piden $P(A\mid B)$: la inversión es justo lo que se evalúa.
  • Olvidar alguna rama en la probabilidad total.
  • Multiplicar mal el árbol: cada rama es prior × condicionada, no una de las dos sueltas.
  • No pasar los porcentajes a tanto por uno (o mezclarlos).
  • Dar el resultado sin contexto: remata con la frase («el 28 % de los defectuosos procede de la primera fábrica»).
0,05la probabilidad total del ejemplo: la suma de las tres ramas
1lo que deben sumar las tres probabilidades a posteriori
3

La distribución normal

3 problemas en el banco

La idea. Cuando una magnitud continua se reparte «en campana» alrededor de una media —estaturas, pesos, notas—, se modela con la normal $N(\mu, \sigma)$. Solo hay una tabla, la de la normal estándar $N(0,1)$, así que todo problema empieza igual: tipificar.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \qquad\qquad P(X \le a) = P\!\left(Z \le \frac{a-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$ Tipificar: restar la media y dividir por la desviación típica. $\Phi$ es la tabla de la $N(0,1)$.

Los cuatro movimientos con la tabla

QuieresLo conviertes en
$P(Z \le z)$ con $z > 0$Directo de la tabla: $\Phi(z)$
$P(Z \ge z)$$1 - \Phi(z)$ (complementario)
$P(Z \le -z)$$1 - \Phi(z)$ (simetría de la campana)
$P(a \le Z \le b)$$\Phi(b) - \Phi(a)$
En una variable continua, $P(X = a) = 0$. La probabilidad de un valor exacto es nula: solo tienen probabilidad los intervalos. Consecuencia práctica: $P(X \le a)$ y $P(X < a)$ valen lo mismo, y no hay que pelearse por el signo igual.

$X$ sigue una normal $N(64, 4)$. ¿Cuánto vale $P(X = 64)$, la probabilidad de que $X$ sea exactamente la media?

Cero. La campana es una densidad: el área sobre un solo punto es nula. Lo que vale 0,5 es $P(X \le 64)$ — media campana. Y la altura de la curva en la media (la opción c) es densidad, no probabilidad. Es la cuestión teórica típica de este apartado.

Míralo

Distribución normal: tipificación y tabla N(0, 1) Abrir aparte ↗
Pruébalo Está sembrada la normal del ejemplo, $N(64,\,4)$, con el intervalo $[60, 72]$ sombreado. Mira el doble eje: abajo los valores reales de $X$, arriba sus tipificados $Z$ — el 60 cae en $-1$ y el 72 en $2$. Después estrecha $\sigma$ a 2 y observa cómo la campana se afila: misma media, mucha menos dispersión, y la probabilidad del mismo intervalo crece.
Ejemplo resuelto Problema tipo de Selectividad

El peso de los ejemplares de una especie se distribuye según una normal de media $64\,\text{kg}$ y desviación típica $4\,\text{kg}$. Calcula la probabilidad de que un ejemplar elegido al azar pese entre $60$ y $72\,\text{kg}$.

Tabla: $\Phi(1) = 0{,}8413$; $\Phi(2) = 0{,}9772$.

Ver la solución paso a paso

Tipificar los dos extremos

$$z_1 = \frac{60 - 64}{4} = -1 \qquad\qquad z_2 = \frac{72 - 64}{4} = 2$$

Pasar a la tabla

$$P(60 \le X \le 72) = \Phi(2) - \Phi(-1)$$

La tabla no tiene valores negativos: por simetría, $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 0{,}1587$.

$$P = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$$

Alrededor del 82 % de los ejemplares. Razonable: el intervalo cubre desde una desviación por debajo de la media hasta dos por encima.

Dibuja siempre la campana y sombrea la zona pedida antes de tocar la tabla. Con el dibujo delante, es casi imposible equivocarse con los complementarios y las simetrías — sin él, es casi seguro.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

  • Tipificar dividiendo por la varianza $\sigma^2$ en vez de por la desviación típica $\sigma$ (ojo a cómo da el dato el enunciado).
  • Buscar valores negativos en la tabla en vez de usar la simetría.
  • Olvidar el complementario en $P(Z \ge z)$.
  • Restar mal el intervalo: es $\Phi(b) - \Phi(a)$, con los dos tipificados.
  • Preocuparse por el $\le$ frente al $<$: en una continua dan lo mismo.
3problemas de distribución normal en el banco
0,8185la probabilidad del intervalo [μ−σ, μ+2σ]: sale una y otra vez
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El bloque de un vistazo

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

  1. «Al menos uno» = unión (o $1 - P(\text{ninguno})$); «los dos» = intersección; «sabiendo que» = condicionada.
  2. Incompatibles ≠ independientes: con probabilidades positivas, se excluyen mutuamente.
  3. Independencia se comprueba: $P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$, con los números delante.
  4. Dos etapas → árbol: la total suma las ramas, y Bayes divide tu rama entre esa suma.
  5. Detecta la inversión: el enunciado da $P(B\mid A_i)$ y suele preguntar $P(A_i\mid B)$.
  6. Normal: tipificar con $Z = (X-\mu)/\sigma$, dibujar la campana y mover complementarios y simetrías sobre el dibujo.
6problemas de examen de este bloque
2simulaciones del bloque
2025PAU Andalucía

Apuntes · Eruditio · contenido propio elaborado a partir de los exámenes oficiales de Andalucía

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Problemas de Selectividad

6 problemas · 2025–2025

Todos los enunciados oficiales de Probabilidad y estadística caídos en la PAU, con el resultado y la solución desarrollada paso a paso. Se abren en una pestaña nueva, para que no pierdas el hilo de los apuntes.

Probabilidad (3)

Distribución normal (3)