Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

Andalucía · 2025 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque con optatividad 3). El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media

200

gramos y desviación típica desconocida.

a) [1,25 puntos] Si el

33\,\%

de las manzanas pesan más de

230

gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.

b) [1,25 puntos] Si la desviación típica es de

50

gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre

160

220

gramos.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \sigma = \frac{30}{0{,}44} \approx 68{,}18 \ \text{gramos}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(160 < X < 220) = 0{,}4435 \;\longrightarrow\; 44{,}35\,\%\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados usan la tabla en sentidos opuestos. En a) conocemos la probabilidad y buscamos

\sigma

: hay que leer la tabla hacia atrás, localizando dentro de ella el valor de

\Phi(z)

y anotando el

z

correspondiente. En b) conocemos

\mu

\sigma

y buscamos una probabilidad: tipificar y leer hacia delante.

Los dos apartados son independientes: la

\sigma

del apartado a) no se usa en el b), que da su propio dato (

50

gramos).

Desarrollo

a) Desviación típica. Sea

X \sim N(200,\ \sigma)

. El dato es

P(X > 230) = 0{,}33

. Pasamos al suceso contrario, que es el que da la tabla:

P(X \leq 230) = 1 - 0{,}33 = 0{,}67

Tipificando:

P\left(Z \leq \frac{230 - 200}{\sigma}\right) = 0{,}67

Buscamos

0{,}67

en el interior de la tabla: aparece como

0{,}6700

en la fila

0{,}4

y columna

0{,}04

, luego

z = 0{,}44

\frac{30}{\sigma} = 0{,}44 \;\Longrightarrow\; \sigma = \frac{30}{0{,}44} \approx 68{,}18 \ \text{gramos}

b) Porcentaje entre 160 y 220 gramos. Ahora

X \sim N(200,\ 50)

. Tipificamos los dos extremos:

z_{1} = \frac{160 - 200}{50} = -0{,}8 \qquad\qquad z_{2} = \frac{220 - 200}{50} = 0{,}4

P(160 < X < 220) = P(-0{,}8 < Z < 0{,}4) = \Phi(0{,}4) - \Phi(-0{,}8)

Por simetría,

\Phi(-0{,}8) = 1 - \Phi(0{,}8) = 1 - 0{,}7881 = 0{,}2119

. Y de la tabla,

\Phi(0{,}4) = 0{,}6554

P = 0{,}6554 - 0{,}2119 = 0{,}4435

Es decir, el

44{,}35\,\%

de las manzanas pesa entre

160

220

gramos.

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Consejo

En a), la tabla da $P(Z \leq z)$ : hay que pasar del $33\,\%$ "por encima" al $67\,\%$ "por debajo" antes de buscar. Entrar en la tabla con $0{,}33$ te devuelve un $z$ negativo que no está tabulado, y de ahí sale una $\sigma$ negativa, que es imposible.

Y no arrastres la $\sigma \approx 68{,}18$ al apartado b): son dos escenarios distintos y el b) te da su propio dato, $\sigma = 50$ . Reutilizar el valor anterior es el error que el enunciado está tendiendo.

Paso 1 de 3

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