Probabilidad

Notación. $A$ = "fabricado en Almería", $B$ = "en Barcelona", $C$ = "en Cáceres"; $D$ = "defectuoso".$$P(A) = 0{,}20 \qquad P(B) = 0{,}50 \qquad P(C) = 0{,}30$$$$P(D\mid A) = 0{,}07 \qquad P(D\mid B) = 0{,}06 \qquad P(D\mid C) = 0{,}02$$a) Probabilidad total. Como $A$, $B$ y $C$ forman un sistema completo de sucesos:$$P(D) = P(A)P(D\mid A) + P(B)P(D\mid B) + P(C)P(D\mid C)$$$$P(D) = 0{,}20\cdot 0{,}07 + 0{,}50\cdot 0{,}06 + 0{,}30\cdot 0{,}02 = 0{,}014 + 0{,}030 + 0{,}006 = 0{,}05$$Es decir, un $5\,\%$ de la producción sale defectuosa.

b) Bayes con el suceso contrario. Del apartado anterior,$$P\bigl(\overline{D}\bigr) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$$Y la probabilidad de que un bolígrafo sea de Almería y no defectuoso es$$P\bigl(A \cap \overline{D}\bigr) = P(A)\,P\bigl(\overline{D}\mid A\bigr) = 0{,}20\cdot(1 - 0{,}07) = 0{,}20\cdot 0{,}93 = 0{,}186$$Aplicando la definición de probabilidad condicionada (teorema de Bayes):$$P\bigl(A \mid \overline{D}\bigr) = \frac{P\bigl(A \cap \overline{D}\bigr)}{P\bigl(\overline{D}\bigr)} = \frac{0{,}186}{0{,}95} \approx 0{,}1958$$Aproximadamente un $19{,}58\,\%$ de los bolígrafos correctos procede de Almería.

Coherencia: Almería aporta el $20\,\%$ de la producción pero es la fábrica con más defectos, así que entre los bolígrafos buenos su peso baja un poco, del $20\,\%$ al $19{,}58\,\%$. El resultado tenía que ir en esa dirección.