Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Andalucía · 2025 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque con optatividad 3). Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de

29\,\%

51\,\%

20\,\%

. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes

18\,\%

31\,\%

11\,\%

, respectivamente.

a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?

b) [1,75 puntos] Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P\bigl(E \cap \overline{C}\bigr) = 0{,}29\cdot 0{,}82 = 0{,}2378\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P\bigl(E \mid \overline{C}\bigr) = \frac{0{,}2378}{0{,}7677} \approx 0{,}3098\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de árbol de probabilidad en dos etapas: primero el tipo de taza (tres ramas, que forman un sistema completo de sucesos porque

29 + 51 + 20 = 100

), y después, colgando de cada una, si lleva cafeína o no.

Los porcentajes

18\,\%

31\,\%

11\,\%

son condicionados al tipo de taza (no suman

100

, señal inequívoca de que no son probabilidades de un mismo reparto). Por tanto, el descafeinado en cada rama es el complementario:

82\,\%

69\,\%

89\,\%

.

Con eso, a) es un producto por la rama del expreso y b) es el teorema de Bayes, que exige antes el teorema de la probabilidad total.

Desarrollo

Notación.

E

= "expreso",

M

= "medio",

A

= "americano";

C

= "con cafeína",

\overline{C}

= "descafeinado".

P(E) = 0{,}29 \qquad P(M) = 0{,}51 \qquad P(A) = 0{,}20

P(C\mid E) = 0{,}18 \qquad P(C\mid M) = 0{,}31 \qquad P(C\mid A) = 0{,}11

y pasando al complementario en cada rama:

P(\overline{C}\mid E) = 0{,}82 \qquad P(\overline{C}\mid M) = 0{,}69 \qquad P(\overline{C}\mid A) = 0{,}89

a) Expreso descafeinado. Es la intersección

E \cap \overline{C}

, es decir, recorrer una rama completa del árbol:

P\bigl(E \cap \overline{C}\bigr) = P(E)\cdot P\bigl(\overline{C}\mid E\bigr) = 0{,}29 \cdot 0{,}82 = 0{,}2378

b) Probabilidad de que sea expreso sabiendo que es descafeinado.

Primero, la probabilidad total de que un café sea descafeinado (los tres tipos de taza forman un sistema completo):

P\bigl(\overline{C}\bigr) = P(E)P\bigl(\overline{C}\mid E\bigr) + P(M)P\bigl(\overline{C}\mid M\bigr) + P(A)P\bigl(\overline{C}\mid A\bigr)

P\bigl(\overline{C}\bigr) = 0{,}29\cdot 0{,}82 + 0{,}51\cdot 0{,}69 + 0{,}20\cdot 0{,}89 = 0{,}2378 + 0{,}3519 + 0{,}1780 = 0{,}7677

Y ahora Bayes:

P\bigl(E \mid \overline{C}\bigr) = \frac{P\bigl(E \cap \overline{C}\bigr)}{P\bigl(\overline{C}\bigr)} = \frac{0{,}2378}{0{,}7677} \approx 0{,}3098

Es decir, alrededor de un

30{,}98\,\%

de los cafés descafeinados son expresos.

Comprobación de coherencia: haciendo lo mismo con los otros dos tipos saldría

\frac{0{,}3519}{0{,}7677} \approx 0{,}4584

\frac{0{,}1780}{0{,}7677} \approx 0{,}2318

; las tres suman

1

, como debe ocurrir.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El $18\,\%$ , el $31\,\%$ y el $11\,\%$ son probabilidades condicionadas al tipo de taza, no el reparto de los cafés con cafeína (no suman $100$ ). Confundirlo desmonta todo el ejercicio.

Y no mezcles $P\bigl(E\cap\overline{C}\bigr)$ con $P\bigl(E\mid\overline{C}\bigr)$ : la primera es un producto, la segunda un cociente. La pista está en el "si sabemos que...", que siempre anuncia una condicionada y obliga a dividir entre la probabilidad total.

Paso 1 de 3

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