Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

Andalucía · 2025 · Julio
Enunciado
Ejercicio 7 (bloque con optatividad 3). La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 7070 km/h.

a) [1 punto] En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 6464 km/h y desviación típica 44 km/h. Si el radar de control salta a partir de 7272 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?

b) [1,5 puntos] En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,663{,}6 km/h y que el 5,05 %5{,}05\,\% de todos los vehículos viaja a más de 8080 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?
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Resultado
  a)P(X>72)=0,0228  ⟶  se sanciona el 2,28 %  \boxed{\;\text{a)}\quad P(X > 72) = 0{,}0228 \;\longrightarrow\; \text{se sanciona el } 2{,}28\,\%\;}  b)σ=10 km/h  \boxed{\;\text{b)}\quad \sigma = 10 \ \text{km/h}\;}
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Estrategia

Los dos apartados son la misma tipificación leída en dos sentidos. En a) conocemos μ\mu y σ\sigma y buscamos una probabilidad: se tipifica y se lee la tabla hacia delante. En b) conocemos la probabilidad y buscamos σ\sigma: se lee la tabla hacia atrás (de la probabilidad al valor de zz) y luego se despeja.

Un aviso: el dato de los 7070 km/h es el límite legal, pero no interviene en ningún cálculo; el radar salta a 7272 y ese es el valor que se tipifica. El enunciado incluye ese dato precisamente para ver si lo usas por inercia.
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Desarrollo

Recordamos la tipificación: si X∼N(μ,σ)X \sim N(\mu, \sigma), entoncesZ=X−μσ∼N(0,1)Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)y la tabla da P(Z≤z)P(Z \leq z).

a) Aquí X∼N(64, 4)X \sim N(64,\ 4) y se sanciona a quien supere los 7272 km/h:P(X>72)=P(Z>72−644)=P(Z>2)P(X > 72) = P\left(Z > \frac{72 - 64}{4}\right) = P(Z > 2)P(Z>2)=1−P(Z≤2)=1−0,9772=0,0228P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228Es decir, se sanciona al 2,28 %2{,}28\,\% de los vehículos.

b) Ahora Y∼N(63,6, σ)Y \sim N(63{,}6,\ \sigma) con σ\sigma desconocida, y el dato es P(Y>80)=0,0505P(Y > 80) = 0{,}0505. Pasando al suceso contrario, que es el que aparece en la tabla:P(Y≤80)=1−0,0505=0,9495P(Y \leq 80) = 1 - 0{,}0505 = 0{,}9495Tipificando:P(Z≤80−63,6σ)=0,9495P\left(Z \leq \frac{80 - 63{,}6}{\sigma}\right) = 0{,}9495Buscamos en el interior de la tabla el valor 0,94950{,}9495: aparece exactamente en la fila 1,61{,}6 y columna 0,040{,}04, luego80−63,6σ=1,64\frac{80 - 63{,}6}{\sigma} = 1{,}64Y despejamos:σ=16,41,64=10 km/h\sigma = \frac{16{,}4}{1{,}64} = 10 \ \text{km/h}Comprobación: con σ=10\sigma = 10, P(Y>80)=P(Z>1,64)=1−0,9495=0,0505P(Y>80) = P(Z > 1{,}64) = 1 - 0{,}9495 = 0{,}0505, exactamente el dato del enunciado.
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Consejo

El límite legal de 7070 km/h es ruido: el radar salta en 7272. Tipificar el dato equivocado es el error que más veces se ve en este ejercicio, y arrastra todo el apartado.

En b), la tabla solo da P(Z≤z)P(Z \leq z), así que pasa siempre al suceso contrario antes de buscar. Y si el valor de probabilidad no está exacto en la tabla, los criterios aceptan tanto interpolar como coger el zz del valor más cercano: dilo explícitamente y no pierdes nada.
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