Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

Andalucía · 2025 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque con optatividad 3). Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media

13

mm y desviación típica

0{,}1

mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre

12{,}9

mm y

13{,}15

mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El

15

de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media

12{,}9

mm y desviación típica

0{,}2

mm.

a) [1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el

15

de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P(12{,}9 < X < 13{,}15) = 0{,}7745 \ \ (77{,}45\,\%)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(12{,}9 < Y < 13{,}15) = 0{,}3944 \ \ (39{,}44\,\%)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El intervalo "óptimo" es el mismo en los dos apartados,

[12{,}9;\ 13{,}15]

; lo que cambia es la distribución con la que se mide. Por tanto se hace dos veces el mismo cálculo: tipificar los dos extremos y restar los valores de la tabla.

P(a < X < b) = P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma} < Z < \frac{b-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

El único detalle técnico es que en a) uno de los valores tipificados sale negativo y la tabla solo trae positivos: hay que usar la simetría

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Desarrollo

a) Circunstancias ideales: $X \sim N(13;\ 0{,}1)$ .

Tipificamos los dos extremos:

z_{1} = \frac{12{,}9 - 13}{0{,}1} = -1 \qquad\qquad z_{2} = \frac{13{,}15 - 13}{0{,}1} = 1{,}5

P(12{,}9 < X < 13{,}15) = P(-1 < Z < 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1)

Por simetría de la campana,

\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587

. Y de la tabla,

\Phi(1{,}5) = 0{,}9332

P = 0{,}9332 - 0{,}1587 = 0{,}7745

Es decir, un

77{,}45\,\%

de las piezas es óptimo.

b) El 15 de julio: $Y \sim N(12{,}9;\ 0{,}2)$ .

Ahora la media coincide justo con el extremo inferior del intervalo válido:

z_{1} = \frac{12{,}9 - 12{,}9}{0{,}2} = 0 \qquad\qquad z_{2} = \frac{13{,}15 - 12{,}9}{0{,}2} = \frac{0{,}25}{0{,}2} = 1{,}25

P(12{,}9 < Y < 13{,}15) = \Phi(1{,}25) - \Phi(0) = 0{,}8944 - 0{,}5 = 0{,}3944

Solo un

39{,}44\,\%

de las piezas sería óptimo.

Lectura del resultado: la avería no solo dispersa más las piezas (la desviación típica se duplica), sino que descentra la media hasta el borde del intervalo válido; por eso la mitad de la producción se va directamente por debajo del mínimo y el rendimiento cae del

77\,\%

39\,\%

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La tabla solo da $\Phi(z)$ para $z \geq 0$ . Con $z$ negativo hay que usar la simetría, $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ ; escribir $\Phi(-1) = -0{,}8413$ es imposible (una probabilidad nunca es negativa) y es un error que se ve mucho.

Lee bien qué distribución toca en cada apartado: los datos de la avería ( $12{,}9$ y $0{,}2$ ) solo valen para el b). Mezclar la media de una con la desviación de la otra es la trampa del enunciado.

Paso 1 de 3

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