Solubilidad y precipitación

a) Producto de solubilidad

Masa molar del $\text{PbI}_2$:$$M(\text{PbI}_2) = 207{,}2 + 2 \cdot 126{,}90 = 461{,}0\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$$Solubilidad molar:$$s = \frac{0{,}65\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}}{461{,}0\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}} = 1{,}41\cdot10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Equilibrio de solubilidad:$$\text{PbI}_2(s) \rightleftharpoons \text{Pb}^{2+}(aq) + 2\,\text{I}^-(aq)$$$$[\text{Pb}^{2+}] = s \qquad [\text{I}^-] = 2s$$$$K_s = [\text{Pb}^{2+}][\text{I}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3 = 4\,(1{,}41\cdot10^{-3})^3 = 1{,}12\cdot10^{-8}$$b) Solubilidad en KI 0,15 M

El KI es una sal soluble que se disocia por completo: $\text{KI} \rightarrow \text{K}^+ + \text{I}^-$, así que aporta $[\text{I}^-]_0 = 0{,}15\ \text{M}$. Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de $\text{PbI}_2$:$$K_s = s'\,(0{,}15 + 2s')^2 = 1{,}12\cdot10^{-8}$$Como el ion común reduce mucho la solubilidad, $2s' \ll 0{,}15$ y podemos aproximar:$$s' \approx \frac{K_s}{(0{,}15)^2} = \frac{1{,}12\cdot10^{-8}}{0{,}0225} = 4{,}98\cdot10^{-7}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Comprobación: $2s' = 1{,}0\cdot10^{-6}$, despreciable frente a $0{,}15$. La aproximación es válida.

En gramos por litro:$$s' = 4{,}98\cdot10^{-7}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} \cdot 461{,}0\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}30\cdot10^{-4}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$$La solubilidad baja unas 2800 veces respecto al agua pura ($0{,}65\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$): es el efecto del ion común. Por Le Chatelier, al aumentar $[\text{I}^-]$ el equilibrio se desplaza hacia la izquierda, hacia el sólido sin disolver.