Constante de equilibrio y grado de disociación

a) Concentraciones en el primer equilibrio

Concentración inicial de $\text{N}_2\text{O}_4$:$$[\text{N}_2\text{O}_4]_0 = \frac{0{,}80\ \text{mol}}{0{,}60\ \text{L}} = 1{,}333\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Si se disocian $x$ mol/L de $\text{N}_2\text{O}_4$, se forman $2x$ mol/L de $\text{NO}_2$:Sustituimos en la constante:$$K_c = \frac{[\text{NO}_2]^2}{[\text{N}_2\text{O}_4]} = \frac{(2x)^2}{1{,}333 - x} = 4{,}66\cdot10^{-3}$$$$4x^2 + 4{,}66\cdot10^{-3}\,x - 6{,}213\cdot10^{-3} = 0$$La raíz positiva (la negativa no tiene sentido físico) es:$$x = \frac{-4{,}66\cdot10^{-3} + \sqrt{(4{,}66\cdot10^{-3})^2 + 16\cdot 6{,}213\cdot10^{-3}}}{8} = 0{,}0388\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Concentraciones de equilibrio:$$[\text{N}_2\text{O}_4] = 1{,}333 - 0{,}0388 = 1{,}29\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} \qquad [\text{NO}_2] = 2(0{,}0388) = 0{,}0777\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Comprobación: $(0{,}0777)^2/1{,}294 = 4{,}66\cdot10^{-3}$. Solo se disocia un $2{,}9\ \%$ del $\text{N}_2\text{O}_4$, coherente con una $K_c$ pequeña.

b) Nuevo equilibrio al reducir el volumen a 0,30 L

En el equilibrio anterior hay $1{,}294 \cdot 0{,}60 = 0{,}7767$ mol de $\text{N}_2\text{O}_4$ y $0{,}0777 \cdot 0{,}60 = 0{,}0466$ mol de $\text{NO}_2$. Justo al reducir el volumen a la mitad, las concentraciones se duplican:$$[\text{N}_2\text{O}_4] = \frac{0{,}7767}{0{,}30} = 2{,}589\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} \qquad [\text{NO}_2] = \frac{0{,}0466}{0{,}30} = 0{,}1553\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$El cociente de reacción en ese instante es:$$Q = \frac{(0{,}1553)^2}{2{,}589} = 9{,}32\cdot10^{-3} > K_c$$Como $Q > K_c$, el sistema evoluciona hacia la izquierda (hacia el $\text{N}_2\text{O}_4$). Es lo que predice Le Chatelier: al aumentar la presión, el equilibrio se desplaza hacia el lado con menos moles gaseosos (1 mol frente a 2).

Si se combinan $2y$ mol/L de $\text{NO}_2$ para dar $y$ mol/L de $\text{N}_2\text{O}_4$:$$K_c = \frac{(0{,}1553 - 2y)^2}{2{,}589 + y} = 4{,}66\cdot10^{-3}$$$$4y^2 - 0{,}6260\,y + 0{,}01206 = 0 \;\Rightarrow\; y = 0{,}0225\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$La otra raíz, $y = 0{,}134$, haría negativa la concentración de $\text{NO}_2$ ($0{,}1553 - 0{,}268 < 0$) y se descarta.$$[\text{N}_2\text{O}_4] = 2{,}589 + 0{,}0225 = 2{,}61\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} \qquad [\text{NO}_2] = 0{,}1553 - 2(0{,}0225) = 0{,}110\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Comprobación: $(0{,}110)^2/2{,}61 = 4{,}66\cdot10^{-3}$. El mismo resultado se obtiene partiendo de los $0{,}80$ mol de $\text{N}_2\text{O}_4$ en $0{,}30\ \text{L}$, porque el estado de equilibrio no depende del camino. La concentración de $\text{NO}_2$ sube respecto a la de a) ($0{,}110$ frente a $0{,}0777$), pero no llega a duplicarse: el desplazamiento compensa solo en parte la compresión.