Solubilidad y precipitación

a) Producto de solubilidad

Masa molar: $M(\text{Ca(OH)}_2) = 40{,}08 + 2\,(16{,}00 + 1{,}01) = 74{,}10\ \text{g/mol}$. Solubilidad molar:$$s = \frac{0{,}823\ \text{g/L}}{74{,}10\ \text{g/mol}} = 1{,}11\cdot10^{-2}\ \text{mol/L}$$Equilibrio de solubilidad:$$\text{Ca(OH)}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ca}^{2+}(aq) + 2\,\text{OH}^-(aq)$$En la disolución saturada $[\text{Ca}^{2+}] = s$ y $[\text{OH}^-] = 2s$:$$K_s = [\text{Ca}^{2+}]\,[\text{OH}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3 = 4\,(1{,}11\cdot10^{-2})^3 = 5{,}48\cdot10^{-6}$$b) Masa que se disuelve a pH 13

A pH 13:$$\text{pOH} = 14 - 13 = 1 \;\Rightarrow\; [\text{OH}^-] = 10^{-1}\ \text{mol/L}$$Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de hidróxido de calcio, en el equilibrio:$$[\text{Ca}^{2+}] = s' \qquad [\text{OH}^-] = 0{,}1 + 2s'$$$$K_s = s'\,(0{,}1 + 2s')^2 = 5{,}48\cdot10^{-6}$$Como el ion común reduce mucho la solubilidad, suponemos $2s' \ll 0{,}1$:$$s' \approx \frac{5{,}48\cdot10^{-6}}{(0{,}1)^2} = 5{,}48\cdot10^{-4}\ \text{mol/L}$$Comprobación: $2s' = 1{,}1\cdot10^{-3}$, apenas un $1\ \%$ de $0{,}1$; la aproximación es válida (resolviendo la ecuación completa sale $s' = 5{,}36\cdot10^{-4}\ \text{mol/L}$, prácticamente lo mismo).

Masa que se disuelve en $600\ \text{mL}$:$$m = s' \cdot V \cdot M = 5{,}48\cdot10^{-4}\ \tfrac{\text{mol}}{\text{L}} \cdot 0{,}600\ \text{L} \cdot 74{,}10\ \tfrac{\text{g}}{\text{mol}} = 2{,}4\cdot10^{-2}\ \text{g}$$Es decir, unos $24\ \text{mg}$. En agua pura se habrían disuelto $0{,}823 \cdot 0{,}600 = 0{,}49\ \text{g}$: el ion común $\text{OH}^-$ reduce la solubilidad unas 20 veces, como predice el principio de Le Chatelier.