Estructura atómica y números cuánticos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Transición electrónica correspondiente a $\lambda = 587{,}49\ \text{nm}$

Cálculo de la frecuencia asociada a la longitud de onda:

0,10 p. $\nu = c/\lambda$

$\nu = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1} / 587{,}49 \times 10^{-9}\ \text{m}$

0,20 p. $\Rightarrow\ \boldsymbol{\nu = 5{,}106 \times 10^{14}\ \text{s}^{-1}}$ (o $5{,}106 \times 10^{14}\ \text{Hz}$)

A partir de la ecuación de Planck se relaciona la frecuencia de la radiación con la energía:

0,10 p. $E = h\,\nu$

$E = h\,\nu = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J s} \cdot 5{,}106 \times 10^{14}\ \text{s}^{-1}$

0,20 p. $\Rightarrow\ \boldsymbol{E = 3{,}386 \times 10^{-19}\ \text{J}}$

• También pueden calcular directamente la energía (0,60 puntos):

$$E = h\,\nu = h\,c/\lambda \;\Rightarrow\; E = \frac{h \cdot c}{\lambda};\quad E = \frac{6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J s} \cdot 3 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}}{587{,}49 \times 10^{-9}\ \text{m}} = \boldsymbol{3{,}386 \times 10^{-19}\ \text{J}}$$Cambio de unidades:$$3{,}386 \times 10^{-19}\ \text{J} \times 1\ \text{eV} / 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J} = \mathbf{2{,}116\ eV}$$La transición corresponde a una diferencia de energía de $2{,}116\ \text{eV}$; según los datos de la tabla, corresponde a la transición del orbital 3d al 2p.$$\Delta E = E_{2p} - E_{3d} = 21{,}08\ \text{eV} - 23{,}20\ \text{eV} = -2{,}12\ \text{eV (energía emitida)}$$0,30 p. $\Rightarrow$ La radiación emitida ($\lambda = 587{,}49\ \text{nm}$) corresponde a una transición electrónica desde el orbital 3d al 2p.

Frecuencia de la radiación para excitar un electrón desde el estado fundamental al orbital 3s

El estado fundamental corresponde al orbital 1s. La transición es desde el orbital 1s al 3s.

0,15 p. $\Delta E = E_{3s} - E_{1s} = 22{,}81\ \text{eV} - 0\ \text{eV} = 22{,}81\ \text{eV}$ (energía absorbida)

Cambio de unidades (eV a J):$$22{,}81\ \text{eV}\ \frac{1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}} = \mathbf{3{,}650 \times 10^{-18}\ J}$$Cálculo de la energía: $E = h\,\nu$

$\nu = E/h \Rightarrow \nu = 3{,}650 \times 10^{-18}\ \text{J} / 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$

0,20 p. $\Rightarrow\ \boldsymbol{\nu = 5{,}505 \times 10^{15}\ \text{s}^{-1}}$ (o $5{,}505 \times 10^{15}\ \text{Hz}$)

b) Bases fundamentales del modelo atómico mecánico-cuántico

0,20 p. Las bases fundamentales del modelo atómico mecánico-cuántico actual son el principio de incertidumbre de Heisenberg y la dualidad onda-corpúsculo de De Broglie.

Principio de incertidumbre de Heisenberg: no se puede conocer con exactitud la posición y el momento (cantidad de movimiento) de un electrón, de manera que surge el concepto de probabilidad.

Dualidad onda-partícula de De Broglie: la dualidad onda-partícula de De Broglie afirma que las partículas pueden comportarse como ondas y viceversa. Así, los electrones a escala atómica se comportan como ondas.

Concepto de orbital según el modelo atómico mecánico-cuántico

0,25 p. Un orbital atómico, según el modelo ondulatorio del átomo, es una función de onda, solución de la ecuación de Schrödinger, que nos describe una región del espacio donde hay una alta probabilidad de encontrar un electrón en un determinado estado energético, fijados los números cuánticos ($n$, $l$ y $m$).

Números cuánticos de los electrones de valencia de un átomo de He y un átomo de Ne

Configuraciones electrónicas:

• He ($Z = 2$): $1s^2$
• Ne ($Z = 10$): $1s^2,\ 2s^2,\ 2p^6$

Números cuánticos de los electrones de valencia:

0,20 p. He: dos electrones de valencia ($1s^2$)

$(n, l, m, s)$: $(1, 0, 0, \tfrac{1}{2})$, $(1, 0, 0, -\tfrac{1}{2})$

0,60 p. Ne: seis electrones de valencia ($2p^6$)

$(n, l, m, s)$: $(2, 1, 0, \tfrac{1}{2})$, $(2, 1, 0, -\tfrac{1}{2})$, $(2, 1, 1, \tfrac{1}{2})$, $(2, 1, 1, -\tfrac{1}{2})$, $(2, 1, -1, \tfrac{1}{2})$, $(2, 1, -1, -\tfrac{1}{2})$