Solubilidad y precipitación

a) Relación entre $s$ y $K_s$.

Equilibrio de solubilidad:$$\text{Ca(OH)}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ca}^{2+}(ac) + 2\,\text{OH}^-(ac)$$Si $s$ es la solubilidad molar (moles de $\text{Ca(OH)}_2$ que se disuelven por litro), por cada mol disuelto aparecen 1 mol de $\text{Ca}^{2+}$ y 2 mol de $\text{OH}^-$:$$[\text{Ca}^{2+}] = s \qquad\qquad [\text{OH}^-] = 2s$$$$K_s = [\text{Ca}^{2+}][\text{OH}^-]^2 = s\,(2s)^2 = \mathbf{4s^3} \qquad\Longleftrightarrow\qquad s = \sqrt[3]{\frac{K_s}{4}}$$b) No: la solubilidad disminuye (efecto del ion común).

El $\text{CaCl}_2$ es muy soluble y aporta iones $\text{Ca}^{2+}$, que ya están en el equilibrio:$$\text{CaCl}_2 \longrightarrow \text{Ca}^{2+} + 2\,\text{Cl}^-$$Al aumentar $[\text{Ca}^{2+}]$, el cociente $Q_s = [\text{Ca}^{2+}][\text{OH}^-]^2$ supera a $K_s$ y el sistema responde desplazándose hacia la izquierda, es decir, precipitando $\text{Ca(OH)}_2$ hasta recuperar el valor de la constante.$$\text{Ca(OH)}_2(s) \;\longleftarrow\; \text{Ca}^{2+} + 2\,\text{OH}^-$$Resultado: se disuelve menos hidróxido que en agua pura. Es el efecto del ion común.

c) No: $K_s$ no cambia.

El producto de solubilidad es una constante de equilibrio, y como toda constante de equilibrio solo depende de la temperatura. Añadir $\text{NaOH}$ no la altera.

Lo que sí cambia es el reparto entre los dos iones: el $\text{NaOH}$ aporta $\text{OH}^-$ (otra vez el ion común), así que el equilibrio se desplaza hacia el sólido y $[\text{Ca}^{2+}]$ disminuye, exactamente lo justo para que el producto siga valiendo $K_s$. Dicho de otro modo: la solubilidad baja precisamente para que $K_s$ se conserve.