Entropía y espontaneidad

a) Entalpía estándar de reacción.$$\Delta H^0 = \left[2\,\Delta H_f(\text{CH}_3\text{OH}) + \Delta H_f(\text{O}_2)\right] - \left[2\,\Delta H_f(\text{CO}_2) + 4\,\Delta H_f(\text{H}_2)\right]$$$$\Delta H^0 = \left[2(-238{,}6) + 0\right] - \left[2(-393{,}5) + 4(0)\right] = -477{,}2 + 787{,}0$$$$\Delta H^0 = \mathbf{+309{,}8\ kJ}$$La reacción es endotérmica, y tiene todo el sentido: se está "deshaciendo" la combustión, es decir, recuperando un combustible ($\text{CH}_3\text{OH}$) a partir del $\text{CO}_2$, que es el producto final de la oxidación del carbono. Hay que aportar energía.

b) Entropía y energía de Gibbs a 500 K.$$\Delta S^0 = \left[2(127{,}2) + 205{,}2\right] - \left[2(213{,}8) + 4(130{,}7)\right]$$$$\Delta S^0 = \left[254{,}4 + 205{,}2\right] - \left[427{,}6 + 522{,}8\right] = 459{,}6 - 950{,}4$$$$\Delta S^0 = \mathbf{-490{,}8\ J\,K^{-1}}$$Sale negativa, y también es coherente: se pasa de 6 moles de gas a solo 1 mol de gas más 2 de líquido. Muchísimo menos desorden.

Ahora la energía de Gibbs a $T = 500\ \text{K}$, con $\Delta S$ pasado a kJ ($-0{,}4908\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}$):$$\Delta G = \Delta H - T\,\Delta S = 309{,}8 - 500\,(-0{,}4908) = 309{,}8 + 245{,}4$$$$\Delta G = \mathbf{+555{,}2\ kJ}$$Como $\Delta G > 0$, la reacción no es espontánea a 500 K. Y hay más: con $\Delta H > 0$ y $\Delta S < 0$ estamos en el cuarto caso de la tabla de signos, así que no es espontánea a ninguna temperatura — subir $T$ solo empeora las cosas.

Eso no significa que el proceso sea imposible: significa que hay que aportar energía desde fuera, que es justamente la idea del hidrógeno verde (usar electricidad renovable para forzarlo). En la práctica industrial, además, se emplea la reacción alternativa $\text{CO}_2 + 3\text{H}_2 \rightarrow \text{CH}_3\text{OH} + \text{H}_2\text{O}$, que sí es exotérmica porque no libera oxígeno.