Solubilidad y precipitación

a) Añadir $\text{BaSO}_4$ sólido: no ocurre nada.

La disolución ya está saturada, así que no admite más soluto. Y como el $\text{BaSO}_4(s)$ es un sólido puro, no aparece en la expresión de $K_s$: añadir más no altera el cociente.$$Q_s = [\text{Ba}^{2+}][\text{SO}_4^{2-}] \quad\text{no cambia} \quad\Longrightarrow\quad \text{el equilibrio no se desplaza}$$Lo único que aumenta es la cantidad de sólido sin disolver en el fondo. Las concentraciones de los iones siguen siendo exactamente las mismas.

b) Añadir $\text{BaCl}_2$: precipita más $\text{BaSO}_4$ (efecto del ion común).

El cloruro de bario es soluble y se disocia por completo, aportando ion bario, que ya está en el equilibrio (1 g en 1 L son $1/208{,}2 \approx 4{,}8\cdot 10^{-3}$ mol de $\text{Ba}^{2+}$, muchísimo más que los $\sim 10^{-5}$ M de la disolución saturada):$$\text{BaCl}_2 \longrightarrow \text{Ba}^{2+} + 2\,\text{Cl}^-$$Al subir $[\text{Ba}^{2+}]$, el cociente supera a la constante:$$Q_s \;\uparrow\; > K_s$$El sistema responde desplazándose hacia la izquierda: precipita más $\text{BaSO}_4$, disminuye $[\text{SO}_4^{2-}]$ y la solubilidad del sulfato de bario baja. Todo ello sin que $K_s$ cambie: el sistema se mueve precisamente para conservarla.

c) Añadir agua destilada: se disuelve más sólido.

Al duplicar el volumen, las dos concentraciones se reducen instantáneamente a la mitad, así que$$Q_s = \frac{[\text{Ba}^{2+}]}{2}\cdot\frac{[\text{SO}_4^{2-}]}{2} = \frac{K_s}{4} \;<\; K_s$$La disolución deja de estar saturada y el equilibrio se desplaza hacia la derecha: se disuelve más sólido del fondo hasta que $Q_s$ vuelve a igualar a $K_s$.

Como la temperatura no ha cambiado, $K_s$ tampoco, así que al final las concentraciones de los iones vuelven a ser las mismas de antes: lo que ha aumentado es la cantidad total de sal disuelta (mismos moles por litro, pero en el doble de litros). Y esto vale mientras quede sólido en el fondo; si se agotara, la disolución dejaría de estar saturada.