Solubilidad y precipitación

a) Equilibrio de solubilidad y solubilidad molar.$$\text{AgCH}_3\text{COO}(s) \rightleftharpoons \text{Ag}^+(ac) + \text{CH}_3\text{COO}^-(ac)$$Si se disuelven $s$ mol por litro, $[\text{Ag}^+] = [\text{CH}_3\text{COO}^-] = s$:$$K_s = [\text{Ag}^+]\,[\text{CH}_3\text{COO}^-] = s^2 \;\Longrightarrow\; s = \sqrt{K_s} = \sqrt{2{,}3\cdot 10^{-3}} = 0{,}048\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$

b) Adición de sulfato de plata.

El sulfato de plata aporta iones $\text{Ag}^+$ a la disolución:$$\text{Ag}_2\text{SO}_4 \longrightarrow 2\,\text{Ag}^+(ac) + \text{SO}_4^{2-}(ac)$$El $\text{Ag}^+$ es un ion común con el equilibrio de solubilidad del acetato de plata. Al aumentar $[\text{Ag}^+]$, el producto iónico supera a $K_s$ y, por el principio de Le Chatelier, el equilibrio se desplaza hacia la izquierda: precipita acetato de plata y su solubilidad disminuye (para el mismo $K_s$, con más $\text{Ag}^+$ cabe menos acetato en disolución).

c) ¿Precipita al mezclar las disoluciones?

Concentraciones tras la mezcla ($V_\text{total} = 100 + 50 = 150\ \text{mL}$):$$n(\text{Ag}^+) = 0{,}100 \cdot 1{,}5 = 0{,}150\ \text{mol} \;\Longrightarrow\; [\text{Ag}^+] = \frac{0{,}150}{0{,}150} = 1{,}0\ \text{M}$$$$n(\text{CH}_3\text{COOH}) = 0{,}050 \cdot 1{,}5 = 0{,}075\ \text{mol} \;\Longrightarrow\; c = \frac{0{,}075}{0{,}150} = 0{,}50\ \text{M}$$El nitrato de plata está totalmente disociado. El ácido acético, en cambio, se disocia muy poco:$$K_a = \frac{x^2}{0{,}50 - x} = 1{,}8\cdot 10^{-5} \;\Longrightarrow\; x \approx \sqrt{1{,}8\cdot 10^{-5}\cdot 0{,}50} = 3{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{M}$$(La aproximación es válida: $x$ es el $0{,}6\ \%$ de $0{,}50$; resolviendo la ecuación de segundo grado sale $2{,}99\cdot 10^{-3}$ M.)

Producto iónico:$$Q = [\text{Ag}^+]\,[\text{CH}_3\text{COO}^-] = 1{,}0 \cdot 3{,}0\cdot 10^{-3} = 3{,}0\cdot 10^{-3}$$Como $Q = 3{,}0\cdot 10^{-3} > K_s = 2{,}3\cdot 10^{-3}$, sí precipita acetato de plata.