Constante de equilibrio y grado de disociación

a) Presión inicial del etano.$$M(\text{C}_2\text{H}_6) = 2\cdot 12{,}0 + 6\cdot 1{,}0 = 30{,}0\ \text{g}\,\text{mol}^{-1} \qquad n_0 = \frac{4{,}38}{30{,}0} = 0{,}146\ \text{mol}$$Con $T = 627 + 273 = 900\ \text{K}$:$$P_0 = \frac{n_0\,R\,T}{V} = \frac{0{,}146\cdot 0{,}082\cdot 900}{3{,}00} = 3{,}59\ \text{atm}$$b) Valor de $K_c$.$$K_p = K_c\,(RT)^{\Delta n}, \qquad \Delta n = (1 + 1) - 1 = 1$$$$K_c = \frac{K_p}{RT} = \frac{0{,}050}{0{,}082\cdot 900} = \frac{0{,}050}{73{,}8} = 6{,}78\cdot 10^{-4}$$c) Concentraciones en el equilibrio.

Concentración inicial del etano:$$[\text{C}_2\text{H}_6]_0 = \frac{0{,}146\ \text{mol}}{3{,}00\ \text{L}} = 0{,}0487\ \text{M}$$$$K_c = \frac{[\text{C}_2\text{H}_4]\,[\text{H}_2]}{[\text{C}_2\text{H}_6]} = \frac{x^2}{0{,}0487 - x} = 6{,}78\cdot 10^{-4}$$Si se despreciara $x$ frente a $0{,}0487$ saldría $x \approx \sqrt{6{,}78\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}0487} = 5{,}7\cdot 10^{-3}\ \text{M}$, un $12\ \%$ de la concentración inicial (más del $5\ \%$): la aproximación no es válida y hay que resolver la ecuación completa:

Guardando una cifra más en los pasos intermedios ($[\text{C}_2\text{H}_6]_0 = 0{,}04867\ \text{M}$, $K_c = 6{,}775\cdot 10^{-4}$):$$x^2 + 6{,}775\cdot 10^{-4}\,x - 3{,}297\cdot 10^{-5} = 0$$$$x = \frac{-6{,}775\cdot 10^{-4} + \sqrt{\left(6{,}775\cdot 10^{-4}\right)^2 + 4\cdot 3{,}297\cdot 10^{-5}}}{2} = \frac{-6{,}775\cdot 10^{-4} + 1{,}1504\cdot 10^{-2}}{2} = 5{,}41\cdot 10^{-3}\ \text{M}$$(La otra raíz es negativa y no tiene sentido físico.)$$[\text{C}_2\text{H}_4] = [\text{H}_2] = 5{,}41\cdot 10^{-3}\ \text{M} \qquad [\text{C}_2\text{H}_6] = 0{,}0487 - 0{,}0054 = 4{,}33\cdot 10^{-2}\ \text{M}$$Comprobación: $\dfrac{(5{,}41\cdot 10^{-3})^2}{4{,}33\cdot 10^{-2}} = 6{,}76\cdot 10^{-4} \approx K_c$. Se ha disociado un $11\ \%$ del etano.

(Por presiones se llega a lo mismo: $\dfrac{p^2}{3{,}59 - p} = 0{,}050 \Rightarrow p = 0{,}3995\ \text{atm}$, y $0{,}3995/73{,}8 = 5{,}41\cdot 10^{-3}\ \text{M}$.)