Solubilidad y precipitación

a) Concentración de cloruro para empezar a precipitar

Cloruro de plomo(II):$$\text{PbCl}_2(s) \rightleftharpoons \text{Pb}^{2+}(aq) + 2\,\text{Cl}^-(aq)\qquad K_{ps} = [\text{Pb}^{2+}][\text{Cl}^-]^2$$Precipita cuando $[\text{Pb}^{2+}][\text{Cl}^-]^2 \ge K_{ps}$:$$[\text{Cl}^-] = \sqrt{\frac{K_{ps}}{[\text{Pb}^{2+}]}} = \sqrt{\frac{1{,}6\cdot 10^{-5}}{0{,}020}} = \sqrt{8{,}0\cdot 10^{-4}} = 2{,}8\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L}$$Cloruro de plata:$$\text{AgCl}(s) \rightleftharpoons \text{Ag}^{+}(aq) + \text{Cl}^-(aq)\qquad K_{ps} = [\text{Ag}^{+}][\text{Cl}^-]$$$$[\text{Cl}^-] = \frac{K_{ps}}{[\text{Ag}^{+}]} = \frac{1{,}7\cdot 10^{-10}}{0{,}010} = 1{,}7\cdot 10^{-8}\ \text{mol/L}$$Al ir añadiendo $\text{HCl}$, la concentración de cloruro va creciendo desde cero: primero se alcanza $1{,}7\cdot 10^{-8}\ \text{M}$ y precipita antes el AgCl; el $\text{PbCl}_2$ no empieza a precipitar hasta que $[\text{Cl}^-] = 2{,}8\cdot 10^{-2}\ \text{M}$. Es una precipitación fraccionada que permite separar los dos iones.

b) Solubilidad del $\text{Fe(OH)}_3$ a pH 8,1$$\text{Fe(OH)}_3(s) \rightleftharpoons \text{Fe}^{3+}(aq) + 3\,\text{OH}^-(aq)\qquad K_{ps} = [\text{Fe}^{3+}][\text{OH}^-]^3$$La disolución está tamponada a pH 8,1, así que la concentración de hidróxido es fija:$$\text{pOH} = 14 - 8{,}1 = 5{,}9\qquad [\text{OH}^-] = 10^{-5{,}9} = 1{,}26\cdot 10^{-6}\ \text{mol/L}$$Si se disuelven $s$ mol/L de hidróxido, $[\text{Fe}^{3+}] = s$ (los $\text{OH}^-$ que aporta son despreciables frente a los del medio):$$s = \frac{K_{ps}}{[\text{OH}^-]^3} = \frac{6{,}3\cdot 10^{-38}}{(1{,}26\cdot 10^{-6})^3} = \frac{6{,}3\cdot 10^{-38}}{2{,}0\cdot 10^{-18}} = 3{,}2\cdot 10^{-20}\ \text{mol/L}$$Es una solubilidad bajísima: a ese pH el hierro(III) está prácticamente todo precipitado como hidróxido.