Solubilidad y precipitación

a) ¿Precipita el $\text{Al(OH)}_3$?

Equilibrio de solubilidad y producto de solubilidad:$$\text{Al(OH)}_3(s) \rightleftharpoons \text{Al}^{3+}(aq) + 3\,\text{OH}^-(aq)\qquad K_{ps} = [\text{Al}^{3+}]\,[\text{OH}^-]^3$$Moles de cada ion (las dos sales se disocian por completo):$$\text{Al(NO}_3)_3 \to \text{Al}^{3+} + 3\,\text{NO}_3^- \qquad n(\text{Al}^{3+}) = 0{,}200\ \text{L}\cdot 0{,}100\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} = 0{,}0200\ \text{mol}$$$$\text{NaOH} \to \text{Na}^+ + \text{OH}^- \qquad n(\text{OH}^-) = 0{,}100\ \text{L}\cdot 0{,}400\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} = 0{,}0400\ \text{mol}$$Volumen total: $0{,}200 + 0{,}100 = 0{,}300\ \text{L}$. Concentraciones justo después de mezclar, antes de que precipite nada:$$[\text{Al}^{3+}]_0 = \frac{0{,}0200}{0{,}300} = 6{,}67\cdot 10^{-2}\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}\qquad [\text{OH}^-]_0 = \frac{0{,}0400}{0{,}300} = 0{,}133\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$$Producto iónico:$$Q = [\text{Al}^{3+}]_0\,[\text{OH}^-]_0^3 = 6{,}67\cdot 10^{-2}\cdot(0{,}133)^3 = 1{,}58\cdot 10^{-4}$$Como $Q = 1{,}58\cdot 10^{-4} \gg K_{ps} = 3{,}00\cdot 10^{-34}$, la disolución está sobresaturada y sí precipita hidróxido de aluminio, hasta que el producto de las concentraciones que quedan en disolución baje a $K_{ps}$. (Precipita prácticamente todo el $\text{OH}^-$: los $0{,}0400$ mol arrastran $0{,}0133$ mol de $\text{Al}^{3+}$, y sobra aluminio en disolución.)

b) Cómo disolver el precipitado

Para disolver el $\text{Al(OH)}_3$ hay que desplazar su equilibrio de solubilidad hacia la derecha, retirando alguno de sus iones (principio de Le Chatelier). Lo más sencillo es añadir un ácido (por ejemplo, $\text{HCl}$): los $\text{H}_3\text{O}^+$ neutralizan los $\text{OH}^-$,$$\text{OH}^-(aq) + \text{H}_3\text{O}^+(aq) \longrightarrow 2\,\text{H}_2\text{O}(l)$$al bajar $[\text{OH}^-]$, $Q$ se hace menor que $K_{ps}$ y el sólido se disuelve hasta reponer el equilibrio. En conjunto:$$\text{Al(OH)}_3(s) + 3\,\text{H}_3\text{O}^+(aq) \longrightarrow \text{Al}^{3+}(aq) + 6\,\text{H}_2\text{O}(l)$$Es decir, la solubilidad del hidróxido aumenta al disminuir el pH. (Además, el $\text{Al(OH)}_3$ es anfótero: también se disuelve en un exceso de base fuerte, formando el ion complejo $[\text{Al(OH)}_4]^-$.)