Solubilidad y precipitación

a) Solubilidad en agua$$\text{BaF}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ba}^{2+}(aq) + 2\,\text{F}^-(aq)$$Si $s$ es la solubilidad molar, en el equilibrio $[\text{Ba}^{2+}] = s$ y $[\text{F}^-] = 2s$:$$K_{ps} = [\text{Ba}^{2+}][\text{F}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$$$$s = \sqrt[3]{\frac{K_{ps}}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1{,}7\cdot 10^{-6}}{4}} = \sqrt[3]{4{,}25\cdot 10^{-7}} = 7{,}5\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$b) NaF necesario para empezar a precipitar

El nitrato de bario es soluble y se disocia por completo:$$\text{Ba(NO}_3)_2(aq) \longrightarrow \text{Ba}^{2+}(aq) + 2\,\text{NO}_3^-(aq) \qquad [\text{Ba}^{2+}] = 0{,}005\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Al añadir NaF (también soluble y totalmente disociado), el $\text{BaF}_2$ empieza a precipitar cuando el producto iónico iguala a $K_{ps}$:$$[\text{Ba}^{2+}][\text{F}^-]^2 = K_{ps} \;\Rightarrow\; [\text{F}^-] = \sqrt{\frac{K_{ps}}{[\text{Ba}^{2+}]}} = \sqrt{\frac{1{,}7\cdot 10^{-6}}{0{,}005}} = \sqrt{3{,}4\cdot 10^{-4}} = 1{,}84\cdot 10^{-2}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Moles de $\text{F}^-$ (iguales a los de NaF) en $100\ \text{mL}$:$$n(\text{NaF}) = 1{,}84\cdot 10^{-2}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot 0{,}100\ \text{L} = 1{,}84\cdot 10^{-3}\ \text{mol}$$Con $M(\text{NaF}) = 22{,}99 + 19{,}00 = 41{,}99\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$:$$m(\text{NaF}) = 1{,}84\cdot 10^{-3}\cdot 41{,}99 = 7{,}7\cdot 10^{-2}\ \text{g}$$Hay que añadir algo más de $0{,}077\ \text{g}$ de NaF para que aparezca el primer precipitado.

c) Efecto del $\text{BaCl}_2$

El cloruro de bario es una sal soluble que se disocia por completo y aporta iones $\text{Ba}^{2+}$, que son un ion común con el equilibrio de solubilidad del $\text{BaF}_2$. Al aumentar $[\text{Ba}^{2+}]$, el producto iónico supera a $K_{ps}$ y, por el principio de Le Chatelier, el equilibrio$$\text{BaF}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ba}^{2+}(aq) + 2\,\text{F}^-(aq)$$se desplaza hacia la izquierda: precipita $\text{BaF}_2$ hasta que se recupera $K_{ps}$. La solubilidad del $\text{BaF}_2$ disminuye (la $K_{ps}$ no cambia, porque solo depende de la temperatura).