Solubilidad y precipitación

a) Producto de solubilidad.$$\text{CaBr}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ca}^{2+}(aq) + 2\,\text{Br}^-(aq)$$Si se disuelven $s$ mol/L de sal: $[\text{Ca}^{2+}] = s$ y $[\text{Br}^-] = 2s$. El sólido no aparece en la expresión (equilibrio heterogéneo):$$K_{ps} = [\text{Ca}^{2+}]\,[\text{Br}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$$$$K_{ps} = 4\,(2\cdot 10^{-4})^3 = 4 \cdot 8\cdot 10^{-12} = 3{,}2\cdot 10^{-11}$$b) Solubilidad con $\text{NaBr}$ 0,2 M.

El $\text{NaBr}$ es una sal soluble que se disocia por completo:$$\text{NaBr} \longrightarrow \text{Na}^+ + \text{Br}^- \qquad [\text{Br}^-]_0 = 0{,}2\ \text{M}$$Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de $\text{CaBr}_2$:$$[\text{Ca}^{2+}] = s' \qquad [\text{Br}^-] = 0{,}2 + 2s'$$$$K_{ps} = s'\,(0{,}2 + 2s')^2 = 3{,}2\cdot 10^{-11}$$Como $s'$ será todavía menor que $2\cdot 10^{-4}$, $2s'$ es despreciable frente a $0{,}2$:$$s' \cdot (0{,}2)^2 \approx 3{,}2\cdot 10^{-11} \;\Rightarrow\; s' = \frac{3{,}2\cdot 10^{-11}}{0{,}04} = 8\cdot 10^{-10}\ \text{mol/L}$$La aproximación es más que válida ($2s' = 1{,}6\cdot 10^{-9} \ll 0{,}2$). La solubilidad ha pasado de $2\cdot 10^{-4}$ a $8\cdot 10^{-10}\ \text{mol/L}$: es unas $250\,000$ veces menor. El ion común $\text{Br}^-$ desplaza el equilibrio hacia la izquierda (hacia el sólido), tal como predice el principio de Le Chatelier.

(El dato de solubilidad es el del enunciado; en la realidad el bromuro de calcio es una sal muy soluble, pero el razonamiento es el mismo para cualquier sal poco soluble del tipo $\text{AB}_2$.)