Constante de equilibrio y grado de disociación

Moles y concentraciones iniciales

Masas molares: $M(\text{Br}_2) = 2 \cdot 80 = 160\,\text{g/mol}$ y $M(\text{I}_2) = 2 \cdot 127 = 254\,\text{g/mol}$.$$n_0(\text{Br}_2) = \frac{1{,}280\,\text{g}}{160\,\text{g/mol}} = 0{,}008\,\text{mol} \qquad n_0(\text{I}_2) = \frac{2{,}032\,\text{g}}{254\,\text{g/mol}} = 0{,}008\,\text{mol}$$Con $V = 400\,\text{mL} = 0{,}4\,\text{L}$:$$[\text{Br}_2]_0 = [\text{I}_2]_0 = \frac{0{,}008\,\text{mol}}{0{,}4\,\text{L}} = 0{,}02\,\text{mol}\,\text{L}^{-1}$$a) Grado de disociación

Si reaccionan $x$ mol/L de cada reactivo, se forman $2x$ mol/L de BrI:$$K_c = \frac{[\text{BrI}]^2}{[\text{Br}_2]\,[\text{I}_2]} = \frac{(2x)^2}{(0{,}02 - x)^2} = 280$$Como los dos miembros son cuadrados, sacamos la raíz (la positiva, porque las concentraciones son positivas):$$\frac{2x}{0{,}02 - x} = \sqrt{280} = 16{,}733$$$$2x = 16{,}733\,(0{,}02 - x) \;\Rightarrow\; 18{,}733\,x = 0{,}33466 \;\Rightarrow\; x = 0{,}017865\,\text{mol}\,\text{L}^{-1}$$Concentraciones en el equilibrio:$$[\text{Br}_2] = [\text{I}_2] = 0{,}02 - 0{,}017865 = 2{,}135\cdot 10^{-3}\,\text{mol}\,\text{L}^{-1} \qquad [\text{BrI}] = 2x = 0{,}03573\,\text{mol}\,\text{L}^{-1}$$(Comprobación: $0{,}03573^2 / (2{,}135\cdot 10^{-3})^2 = 280$.)

El grado de disociación (fracción de cada reactivo que ha reaccionado) es:$$\alpha = \frac{x}{c_0} = \frac{0{,}017865}{0{,}02} = 0{,}893 \;\Rightarrow\; \alpha = 89{,}3\,\%$$Tiene sentido: con una $K_c$ tan grande (280), el equilibrio está muy desplazado hacia el BrI.

b) Valor de $K_p$

La relación entre las dos constantes es $K_p = K_c\,(RT)^{\Delta n}$, con $\Delta n$ = moles gaseosos de productos − moles gaseosos de reactivos:$$\Delta n = 2 - (1 + 1) = 0 \;\Rightarrow\; K_p = K_c\,(RT)^0 = K_c$$$$K_p = 280$$La temperatura ($T = 150 + 273 = 423\,\text{K}$) no hace falta: cuando $\Delta n = 0$, las dos constantes coinciden a cualquier temperatura y además son adimensionales.

c) Gramos de yodo en el equilibrio$$n(\text{I}_2)_{\text{eq}} = [\text{I}_2]\cdot V = 2{,}135\cdot 10^{-3}\,\text{mol}\,\text{L}^{-1} \cdot 0{,}4\,\text{L} = 8{,}54\cdot 10^{-4}\,\text{mol}$$$$m(\text{I}_2) = 8{,}54\cdot 10^{-4}\,\text{mol} \cdot 254\,\text{g/mol} = 0{,}217\,\text{g}$$Es decir, de los 2,032 g iniciales solo queda sin reaccionar algo más del 10 %, de acuerdo con $\alpha = 89{,}3\,\%$.