Solubilidad y precipitación

a) Solubilidad del $\text{MgF}_2$.$$\text{MgF}_2(s) \rightleftharpoons \text{Mg}^{2+}(aq) + 2\,\text{F}^-(aq)$$$$K_{ps} = [\text{Mg}^{2+}][\text{F}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$$$$s = \sqrt[3]{\frac{K_{ps}}{4}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}4\cdot 10^{-9}}{4}} = \sqrt[3]{1{,}6\cdot 10^{-9}} = 1{,}17\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Masa molar: $M(\text{MgF}_2) = 24{,}3 + 2\cdot 19 = 62{,}3\ \text{g/mol}$.$$s = 1{,}17\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot 62{,}3\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 7{,}29\cdot 10^{-2}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$$

b) ¿Precipita el $\text{PbSO}_4$?

Al mezclar, el $\text{Pb(NO}_3)_2$ y el $\text{Na}_2\text{SO}_4$ (sales solubles) están totalmente disociados, y el único compuesto que puede precipitar es el $\text{PbSO}_4$:$$\text{PbSO}_4(s) \rightleftharpoons \text{Pb}^{2+}(aq) + \text{SO}_4^{2-}(aq)\qquad K_{ps} = [\text{Pb}^{2+}][\text{SO}_4^{2-}]$$Moles de cada ion y concentración en el volumen total, $V = 0{,}100 + 0{,}400 = 0{,}500\ \text{L}$:$$n(\text{Pb}^{2+}) = 0{,}100\ \text{L}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{M} = 3{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{mol}\;\Rightarrow\; [\text{Pb}^{2+}] = \frac{3{,}0\cdot 10^{-4}}{0{,}500} = 6{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{M}$$$$n(\text{SO}_4^{2-}) = 0{,}400\ \text{L}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{M} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\;\Rightarrow\; [\text{SO}_4^{2-}] = \frac{2{,}0\cdot 10^{-3}}{0{,}500} = 4{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{M}$$Producto iónico:$$Q = [\text{Pb}^{2+}][\text{SO}_4^{2-}] = 6{,}0\cdot 10^{-4}\cdot 4{,}0\cdot 10^{-3} = 2{,}4\cdot 10^{-6}$$Como $Q = 2{,}4\cdot 10^{-6} > K_{ps} = 1{,}6\cdot 10^{-6}$, la disolución está sobresaturada en $\text{PbSO}_4$: sí se forma precipitado de sulfato de plomo(II), hasta que el producto de las concentraciones baje al valor de $K_{ps}$.

(El valor tabulado del $K_{ps}$ del $\text{PbSO}_4$ a $25\ ^\circ\text{C}$ es del orden de $1{,}6\cdot 10^{-8}$; con él, $Q$ sería aún más de cien veces mayor y la conclusión es la misma.)