Solubilidad y precipitación

a) Solubilidad en agua$$\text{AgCl}(s) \rightleftharpoons \text{Ag}^+(aq) + \text{Cl}^-(aq)$$Si se disuelven $s$ mol/L de AgCl, en el equilibrio $[\text{Ag}^+] = [\text{Cl}^-] = s$:$$K_s = [\text{Ag}^+][\text{Cl}^-] = s^2 \;\Rightarrow\; s = \sqrt{K_s} = \sqrt{1{,}7\cdot10^{-10}} = 1{,}30\cdot10^{-5}\ \text{mol/L}$$Masa molar del AgCl: $M = 107{,}87 + 35{,}45 = 143{,}32\ \text{g/mol}$.$$s = 1{,}30\cdot10^{-5}\ \frac{\text{mol}}{\text{L}}\cdot 143{,}32\ \frac{\text{g}}{\text{mol}}\cdot 10^3\ \frac{\text{mg}}{\text{g}} = 1{,}87\ \text{mg/L}$$b) Solubilidad en NaCl 0,1 M

El NaCl es una sal soluble y está totalmente disociada: aporta $[\text{Cl}^-]_0 = 0{,}1$ M. Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de AgCl:$$K_s = s'\,(0{,}1 + s') = 1{,}7\cdot10^{-10}$$Como $s'$ será mucho menor que 0,1, aproximamos $0{,}1 + s' \approx 0{,}1$:$$s' = \frac{1{,}7\cdot10^{-10}}{0{,}1} = 1{,}7\cdot10^{-9}\ \text{mol/L}$$La aproximación es válida ($1{,}7\cdot10^{-9} \ll 0{,}1$). En masa: $s' = 1{,}7\cdot10^{-9}\cdot 143{,}32\cdot 10^3 = 2{,}4\cdot10^{-4}\ \text{mg/L}$.

Justificación de la diferencia. La solubilidad en NaCl 0,1 M es unas 7700 veces menor que en agua pura. Es el efecto del ion común: el $\text{Cl}^-$ procedente del NaCl aumenta la concentración de uno de los productos del equilibrio de solubilidad y, según el principio de Le Châtelier, el equilibrio se desplaza hacia la izquierda, hacia la formación de AgCl sólido. Como el producto $[\text{Ag}^+][\text{Cl}^-]$ debe seguir valiendo $K_s$, con mucho $\text{Cl}^-$ en la disolución solo puede quedar disuelto muy poco $\text{Ag}^+$.