Solubilidad y precipitación

a) Equilibrios de disociación.$$\boxed{\text{Fe}(\text{OH})_3(s) \rightleftharpoons \text{Fe}^{3+}(ac) + 3\,\text{OH}^-(ac)}$$$$\boxed{\text{Ag}_3\text{PO}_4(s) \rightleftharpoons 3\,\text{Ag}^+(ac) + \text{PO}_4^{3-}(ac)}$$Las expresiones de los productos de solubilidad, sin incluir los sólidos:$$K_s(\text{Fe}(\text{OH})_3) = [\text{Fe}^{3+}]\,[\text{OH}^-]^3 \qquad K_s(\text{Ag}_3\text{PO}_4) = [\text{Ag}^+]^3\,[\text{PO}_4^{3-}]$$b) $K_s$ en función de la solubilidad.

Hidróxido de hierro(III). Si se disuelven $s$ mol·L⁻¹, aparecen $s$ de $\text{Fe}^{3+}$ y $3s$ de $\text{OH}^-$:$$K_s = (s)\,(3s)^3 = s \cdot 27s^3$$$$\boxed{K_s(\text{Fe}(\text{OH})_3) = 27\,s^4}$$Fosfato de plata. Por cada mol disuelto aparecen $3s$ de $\text{Ag}^+$ y $s$ de $\text{PO}_4^{3-}$:$$K_s = (3s)^3\,(s) = 27s^3 \cdot s$$$$\boxed{K_s(\text{Ag}_3\text{PO}_4) = 27\,s^4}$$Las dos expresiones son idénticas. No es casualidad: ambas sales tienen la misma proporción $1\!:\!3$, aunque invertida, y en el producto de solubilidad el orden no importa.

c) Es más soluble el $\text{Ag}_3\text{PO}_4$.

Como las dos relaciones coinciden, se puede despejar $s$ con la misma fórmula:$$s = \sqrt[4]{\frac{K_s}{27}}$$Hidróxido de hierro(III):$$s = \sqrt[4]{\frac{1{,}1\cdot 10^{-36}}{27}} = \sqrt[4]{4{,}07\cdot 10^{-38}} = 4{,}5\cdot 10^{-10} \text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Fosfato de plata:$$s = \sqrt[4]{\frac{1{,}56\cdot 10^{-18}}{27}} = \sqrt[4]{5{,}78\cdot 10^{-20}} = 1{,}55\cdot 10^{-5} \text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$$$$\boxed{s(\text{Ag}_3\text{PO}_4) = 1{,}55\cdot 10^{-5} \;\ggg\; s(\text{Fe}(\text{OH})_3) = 4{,}5\cdot 10^{-10} \text{ M}}$$El fosfato de plata es unas 35 000 veces más soluble. Y como en este caso las dos sales comparten la misma relación $K_s = 27s^4$, la comparación de las constantes sí era directamente válida: mayor $K_s$ significa mayor solubilidad.

El $\text{Fe}(\text{OH})_3$ es de hecho uno de los compuestos más insolubles que se manejan en el laboratorio, y por eso basta con alcalinizar ligeramente una disolución para eliminar todo el hierro(III) como precipitado pardo-rojizo.