Solubilidad y precipitación

a) Solubilidad

Equilibrio de solubilidad (el sólido no aparece en $K_s$):$$\text{Zn(OH)}_2(s) \rightleftharpoons \text{Zn}^{2+}(aq) + 2\,\text{OH}^-(aq)$$$$K_s = [\text{Zn}^{2+}]\,[\text{OH}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$$$$s = \sqrt[3]{\frac{K_s}{4}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}3\cdot 10^{-17}}{4}} = 2{,}51\cdot 10^{-6}\ \text{mol/L}$$Masa molar: $M(\text{Zn(OH)}_2) = 65{,}38 + 2\,(16{,}00 + 1{,}01) = 99{,}40\ \text{g/mol}$.$$s = 2{,}51\cdot 10^{-6}\ \tfrac{\text{mol}}{\text{L}} \cdot 99{,}40\ \tfrac{\text{g}}{\text{mol}} = 2{,}49\cdot 10^{-4}\ \text{g/L}$$b) Concentraciones de los iones$$[\text{Zn}^{2+}] = s = 2{,}51\cdot 10^{-6}\ \text{M}\qquad [\text{OH}^-] = 2s = 5{,}01\cdot 10^{-6}\ \text{M}$$Los $\text{OH}^-$ del agua ($10^{-7}\ \text{M}$) son despreciables frente a estos.

c) Efecto de añadir NaOH 1 M

El $\text{NaOH}$ es una base fuerte totalmente disociada: aporta $[\text{OH}^-] = 1\ \text{M}$. Según el principio de Le Chatelier, al aumentar la concentración de un producto el equilibrio se desplaza hacia la izquierda: precipita $\text{Zn(OH)}_2$ y la solubilidad disminuye (efecto del ion común).

Llamando $s'$ a la nueva solubilidad, $[\text{Zn}^{2+}] = s'$ y $[\text{OH}^-] = 1 + 2s' \approx 1\ \text{M}$ (porque $2s' \ll 1$):$$K_s = s'\,(1)^2 \;\Rightarrow\; s' = 6{,}3\cdot 10^{-17}\ \text{mol/L}$$La aproximación es más que válida. Comparando con el agua pura:$$\frac{s}{s'} = \frac{2{,}51\cdot 10^{-6}}{6{,}3\cdot 10^{-17}} \approx 4\cdot 10^{10}$$La solubilidad se hace unas 40 000 millones de veces menor ($s' = 6{,}3\cdot 10^{-17}\cdot 99{,}40 = 6{,}3\cdot 10^{-15}\ \text{g/L}$): en la práctica, todo el cinc precipita.

(Es la respuesta que se espera, la del ion común. En el laboratorio, con tanto exceso de base el $\text{Zn(OH)}_2$, que es anfótero, acaba redisolviéndose como ion cincato, $[\text{Zn(OH)}_4]^{2-}$, pero eso queda fuera de lo que pide el ejercicio.)