Solubilidad y precipitación

a) ¿Precipita el $\text{BaSO}_4$?

Volumen total: $V_T = 10 + 40 = 50\ \text{mL} = 0{,}050\ \text{L}$.

Moles de cada ion (disociación total: $\text{BaCl}_2 \to \text{Ba}^{2+} + 2\,\text{Cl}^-$; $\text{Na}_2\text{SO}_4 \to 2\,\text{Na}^+ + \text{SO}_4^{2-}$):$$n(\text{Ba}^{2+}) = 0{,}1 \cdot 0{,}010 = 1{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{mol} \qquad n(\text{SO}_4^{2-}) = 0{,}1 \cdot 0{,}040 = 4{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{mol}$$Concentraciones en la mezcla:$$[\text{Ba}^{2+}] = \frac{1{,}0\cdot 10^{-3}}{0{,}050} = 0{,}020\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} \qquad [\text{SO}_4^{2-}] = \frac{4{,}0\cdot 10^{-3}}{0{,}050} = 0{,}080\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$$Producto iónico:$$Q = [\text{Ba}^{2+}]\,[\text{SO}_4^{2-}] = 0{,}020 \cdot 0{,}080 = 1{,}6\cdot 10^{-3}$$Comparación:$$Q = 1{,}6\cdot 10^{-3} \gg K_{ps} = 1{,}1\cdot 10^{-10}$$Como el producto iónico supera al producto de solubilidad, la disolución está sobresaturada en $\text{BaSO}_4$: sí precipita $\text{BaSO}_4$, hasta que el producto de las concentraciones que quedan en disolución baje a $K_{ps}$.

b) Equilibrio de solubilidad

El $\text{BaSO}_4$ sólido está en equilibrio con sus iones en disolución (equilibrio heterogéneo):$$\text{BaSO}_4\text{(s)} \rightleftharpoons \text{Ba}^{2+}\text{(aq)} + \text{SO}_4^{2-}\text{(aq)}$$$$K_{ps} = [\text{Ba}^{2+}]\,[\text{SO}_4^{2-}]$$El sólido no aparece en la expresión porque su concentración es constante. Si $s$ es la solubilidad molar en agua pura, $[\text{Ba}^{2+}] = [\text{SO}_4^{2-}] = s$ y $K_{ps} = s^2$, de modo que $s = \sqrt{1{,}1\cdot 10^{-10}} \approx 1{,}0\cdot 10^{-5}\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$: una sal muy poco soluble.